Os seguintes pares de retas e são paralelas ou concorrentes. Encontre uma equação geral do plano que as contém.

Passo 1

O enunciado dá duas retas
r1: x = 1 + 2t y = -2 + 3t z = 3 - t e r2: x = 1 + 2s y = -2 - s z = 3 + 2s
e pede para decidir se elas são paralelas ou concorrentes e, no caso de concorrerem, encontrar a equação geral do plano que as contém. Vamos usar vetores diretores, teste de paralelismo, intersecção de retas e produto vetorial para a equação do plano.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores
u=(2,3,-1)(de r1), v=(2,-1,2)(de r2)
Como não existe escalar lambda tal que u=lambdav, as retas não são paralelas.

Passo 3

Para ver se concorrem, igualamos coordenadas com t=s:
1+2t=1+2s, -2+3t=-2-s, 3-t=3+2s
Da primeira equação vem t=s. Na segunda:
-2+3t=-2-t;Longrightarrow;4t=0;Longrightarrow;t=0;(s=0),
e a terceira confere: 3=3. Logo as retas se cruzam em
P=(1,-2,3),
isto é, são concorrentes.

Passo 4

O plano que contém duas direções u e v tem normal dado por n=utimesv. Calculamos:
n = i&j&k 2&3&-1 2&-1&2 =(3cdot2-(-1)cdot(-1)),i -(2cdot2-(-1)cdot2),j +(2cdot(-1)-3cdot2),k =(5,-6,-8)

Passo 5

A equação do plano com normal n=(5,-6,-8) que passa por P(1,-2,3) é
5(x-1)-6(y+2)-8(z-3)=0
Expandindo:
5x-5-6y-12-8z+24=0 Longrightarrow 5x-6y-8z+7=0

Resposta

As retas são concorrentes e o plano que as contém tem equação geral
5x - 6y - 8z + 7 = 0

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