Dados o ponto A=(2,-5,3) e o vetor v=(-3,1,6), obtenha os itens a seguir:
Equação vetorial da reta r que passa por A e possui vetor diretor v.

Passo 1

Então, a gente tem um problema de geometria analítica envolvendo retas no espaço. Precisamos encontrar a equação vetorial da reta $ r $ que passa pelo ponto $ A = (2, -5, 3) $ e que tem como vetor diretor $ \vec{v} = (-3, 1, 6) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e equações de reta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que a equação vetorial de uma reta no espaço pode ser escrita da seguinte forma:
r(t) = A + t cdot v
Aqui:
  • $ \vec{A} $ é o vetor posição do ponto por onde a reta passa.
  • $ \vec{v} $ é o vetor diretor da reta, que indica a direção da reta.
  • $ t $ é um parâmetro que varia nos números reais, permitindo que a reta se estenda infinitamente em ambas as direções.

Passo 3

Vamos identificar os componentes que temos:
  • O ponto $ A $ tem coordenadas $ (2, -5, 3) $, então o vetor posição $ \vec{A} $ é:
A
  • O vetor diretor $ \vec{v} $ já foi dado como $ (-3, 1, 6) $:
(2, -5, 3)

Passo 4

Agora, vamos substituir $ \vec{A} $ e $ \vec{v} $ na fórmula da equação vetorial da reta:
A

Passo 5

Para deixar a equação mais clara, podemos distribuir o $ t $ dentro do vetor diretor:
t

Resposta

A equação vetorial da reta $ r $ é:
r

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