A função densidade conjunta para um par de variáveis aleatórias X e Y é
f(x, y)= C x(1+y) & se 0 <= x <= 1,0 <= y <= 2 0 & caso contrário á
(a) Determine o valor da constante C.
(b) Encontre P(X <= 1, Y >= 1).
© Encontre P(X+Y <= 1)
(Resp. (a) 1 / 2 (b) 0,375 © 5 / 48 approx 0,1042 )

Passo 1

O enunciado pede: dado f(x,y)=C x(1+y) em 0≤x≤1, 0≤y≤2, achar (a) a constante C para normalizar a densidade, (b) P(X≤1,Y≥1) e © P(X+Y≤1). Vamos usar integração dupla em cada caso.

Passo 2

Para achar C, usamos a condição de normalização ∫∫ f(x,y) dx dy=1. Calculamos primeiro
Como isso vale 2, temos C·2=1, logo C=1/2.

Passo 3

Para P(X≤1,Y≥1) observamos que X varia de 0 a 1 e Y de 1 a 2. Então
$$P(X\le1,Y\ge1)=\int_{y=1}{2}\int_{x=0}{1} \frac12,x(1+y),dx,dy.
P(X<=1,Y>=1)=integraly=1^2integralx=0^1 12,x(1+y),dx,dy P=\frac12\times\frac12\times2.5=\frac{5}{8}=0.625.$$

Passo 4

Para P(X+Y≤1) olhamos a região triangular: x de 0 a 1, y de 0 a 1−x. Assim
$$P(X+Y\le1)=\int_{x=0}{1}\int_{y=0}{1-x} \frac12,x(1+y),dy,dx.
P(X+Y<=1)=integralx=0^1integraly=0^1-x 12,x(1+y),dy,dx \int_{0}{1-x}(1+y),dy=(1-x)+\frac{(1-x)2}{2}.$$
Multiplicando por x e integrando em x de 0 a 1 dá
integral0^1-x(1+y),dy=(1-x)+(1-x)^22
Multiplicando por C=1/2 resulta
integral0^1xl((1-x)+tfrac(1-x)^22r)dx=524

Resposta

a) C=\tfrac12
b) P(X≤1,Y≥1)=\tfrac58=0.625
c) P(X+Y≤1)=\tfrac{5}{48}\approx0.1042

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