A função densidade conjunta para um par de variáveis aleatórias
e
é
(a) Determine o valor da constante
.
(b) Encontre
.
© Encontre
(Resp. (a)
(b) 0,375 ©
)
(b) Encontre
© Encontre
(Resp. (a)
Passo 1
O enunciado pede: dado f(x,y)=C x(1+y) em 0≤x≤1, 0≤y≤2, achar (a) a constante C para normalizar a densidade, (b) P(X≤1,Y≥1) e © P(X+Y≤1). Vamos usar integração dupla em cada caso.
Passo 2
Para achar C, usamos a condição de normalização ∫∫ f(x,y) dx dy=1. Calculamos primeiro
Como isso vale 2, temos C·2=1, logo C=1/2.
Passo 3
Para P(X≤1,Y≥1) observamos que X varia de 0 a 1 e Y de 1 a 2. Então
$$P(X\le1,Y\ge1)=\int_{y=1}{2}\int_{x=0}{1} \frac12,x(1+y),dx,dy.
Passo 4
Para P(X+Y≤1) olhamos a região triangular: x de 0 a 1, y de 0 a 1−x. Assim
$$P(X+Y\le1)=\int_{x=0}{1}\int_{y=0}{1-x} \frac12,x(1+y),dy,dx.
Multiplicando por x e integrando em x de 0 a 1 dá
Multiplicando por C=1/2 resulta
Resposta
a) C=\tfrac12
b) P(X≤1,Y≥1)=\tfrac58=0.625
c) P(X+Y≤1)=\tfrac{5}{48}\approx0.1042
b) P(X≤1,Y≥1)=\tfrac58=0.625
c) P(X+Y≤1)=\tfrac{5}{48}\approx0.1042