Obtenha os itens a seguir.
Exiba três pontos distintos sobre a curva
onde a reta tangente é horizontal.
Exiba três pontos distintos sobre a curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar três pontos diferentes na curva da função $ y = \frac{\cos x}{2 + \sin x} $ onde a reta tangente é horizontal. Isso faz parte do estudo de derivadas na matemática, especificamente tratando da inclinação da reta tangente a uma curva. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função $ y $ em relação a $ x $ e encontrar os valores de $ x $ que tornam essa derivada igual a zero, pois uma reta horizontal tem inclinação zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $. Nossa função é $ y = \frac{\cos x}{2 + \sin x} $. Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos $ \frac{u}{v} $, então a derivada é $ \frac{u’v - uv’}{v^2} $.
Passo 3
Identificando $ u = \cos x $ e $ v = 2 + \sin x $, precisamos encontrar $ u’ $ e $ v’ $:
- $ u’ = -\sin x $ (a derivada de $ \cos x $ é $ -\sin x $)
- $ v’ = \cos x $ (a derivada de $ \sin x $ é $ \cos x $)
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Passo 5
Lembrando que $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, podemos substituir:
Então, a derivada fica:
Passo 6
Agora, queremos encontrar onde a reta tangente é horizontal, ou seja, onde $ y’ = 0 $:
Para uma fração ser igual a zero, o numerador deve ser zero:
Passo 7
Precisamos encontrar os valores de $ x $ onde $ \sin x = -\frac{1}{2} $. Sabemos que isso ocorre nos ângulos:
Vamos escolher três desses valores para encontrar os pontos distintos.
Passo 8
Calculando os valores de $ y $ para cada $ x $:
- Para $ x = \frac{7\pi}{6} $:
- Para $ x = \frac{11\pi}{6} $:
- Para $ x = \frac{19\pi}{6} $:
Resposta
Os três pontos distintos na curva $ y = \frac{\cos x}{2 + \sin x} $ onde a reta tangente é horizontal são:
- $ \left( \frac{7\pi}{6}, -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) $
- $ \left( \frac{11\pi}{6}, \frac{\sqrt{3}}{3} \right) $
- $ \left( \frac{19\pi}{6}, \frac{\sqrt{3}}{3} \right) $