Obtenha os itens a seguir.
Exiba três pontos distintos sobre a curva y=cos x2+sen x onde a reta tangente é horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar três pontos diferentes na curva da função $ y = \frac{\cos x}{2 + \sin x} $ onde a reta tangente é horizontal. Isso faz parte do estudo de derivadas na matemática, especificamente tratando da inclinação da reta tangente a uma curva. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função $ y $ em relação a $ x $ e encontrar os valores de $ x $ que tornam essa derivada igual a zero, pois uma reta horizontal tem inclinação zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $. Nossa função é $ y = \frac{\cos x}{2 + \sin x} $. Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos $ \frac{u}{v} $, então a derivada é $ \frac{u’v - uv’}{v^2} $.

Passo 3

Identificando $ u = \cos x $ e $ v = 2 + \sin x $, precisamos encontrar $ u’ $ e $ v’ $:
  • $ u’ = -\sin x $ (a derivada de $ \cos x $ é $ -\sin x $)
  • $ v’ = \cos x $ (a derivada de $ \sin x $ é $ \cos x $)

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
y' = (-sin x)(2 + sin x) - (cos x)(cos x)(2 + sin x)^2
Vamos simplificar o numerador:
-sin x(2 + sin x) - cos^2 x = -2sin x - sin^2 x - cos^2 x

Passo 5

Lembrando que $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, podemos substituir:
sin^2 x + cos^2 x = 1
Então, a derivada fica:
-2sin x - (sin^2 x + cos^2 x) = -2sin x - 1

Passo 6

Agora, queremos encontrar onde a reta tangente é horizontal, ou seja, onde $ y’ = 0 $:
y' = 0
Para uma fração ser igual a zero, o numerador deve ser zero:
-2sin x - 1(2 + sin x)^2 = 0

Passo 7

Precisamos encontrar os valores de $ x $ onde $ \sin x = -\frac{1}{2} $. Sabemos que isso ocorre nos ângulos:
x
Vamos escolher três desses valores para encontrar os pontos distintos.

Passo 8

Calculando os valores de $ y $ para cada $ x $:
  1. Para $ x = \frac{7\pi}{6} $:
y
  1. Para $ x = \frac{11\pi}{6} $:
x
  1. Para $ x = \frac{19\pi}{6} $:
x = 7pi6

Resposta

Os três pontos distintos na curva $ y = \frac{\cos x}{2 + \sin x} $ onde a reta tangente é horizontal são:
  1. $ \left( \frac{7\pi}{6}, -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) $
  2. $ \left( \frac{11\pi}{6}, \frac{\sqrt{3}}{3} \right) $
  3. $ \left( \frac{19\pi}{6}, \frac{\sqrt{3}}{3} \right) $

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