Obtenha os itens a seguir.
Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
no ponto de abscissa 1. Qual a área do triângulo determinado por essas duas retas e o eixo
?
Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função $ f(x) = \frac{2x}{2 + \sqrt{x}} $ no ponto onde a abscissa é 1. Depois disso, vamos calcular a área do triângulo formado por essas duas retas e pelo eixo $ x $. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas para achar as inclinações das retas e un pouco de geometria para a área do triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de $ f(1) $ para saber as coordenadas do ponto onde faremos as tangentes e normais. Substituindo $ x = 1 $ na função:
Então, o ponto de interesse é $ (1, \frac{2}{3}) $.
Passo 3
Agora, precisamos achar a derivada de $ f(x) $ para determinar a inclinação da reta tangente no ponto $ x = 1 $. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação ou a inclinação da reta tangente naquele ponto.
A função é:
Vamos aplicar a regra do quociente para derivar:
Simplificando:
Passo 4
Vamos calcular $ f’(1) $ para achar a inclinação da reta tangente no ponto $ x = 1 $:
Então, a inclinação da reta tangente é $ \frac{5}{9} $.
Passo 5
Com a inclinação da tangente ($ m_t = \frac{5}{9} $) e o ponto $ (1, \frac{2}{3}) $, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação da reta tangente é:
Passo 6
A reta normal é perpendicular à reta tangente. Sabemos que se a inclinação da tangente é $ m_t $, a inclinação da normal $ m_n $ é o negativo do inverso:
Passo 7
Usando a inclinação da normal ($ m_n = -\frac{9}{5} $) e o mesmo ponto $ (1, \frac{2}{3}) $, aplicamos a equação ponto-inclinação:
Simplificando:
Então, a equação da reta normal é:
Passo 8
Agora, vamos encontrar os pontos onde essas retas interceptam o eixo $ x $. Para isso, colocamos $ y = 0 $ em cada equação.
Para a reta tangente:
Então, a reta tangente corta o eixo $ x $ em $ \left( -\frac{1}{5}, 0 \right) $.
Para a reta normal:
Então, a reta normal corta o eixo $ x $ em $ \left( \frac{37}{27}, 0 \right) $.
Passo 9
O triângulo é formado pelos pontos de interseção das duas retas com o eixo $ x $ e o ponto de tangência $ (1, \frac{2}{3}) $.
As coordenadas dos vértices são:
- $ A = \left( -\frac{1}{5}, 0 \right) $
- $ B = \left( \frac{37}{27}, 0 \right) $
- $ C = \left( 1, \frac{2}{3} \right) $
Podemos usar a fórmula da área do triângulo com três pontos:
Substituindo:
Simplificando:
Resposta
A área do triângulo é $ \frac{212}{405} $ unidades de área.