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Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f(x)=2 x2+raizx no ponto de abscissa 1. Qual a área do triângulo determinado por essas duas retas e o eixo x?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função $ f(x) = \frac{2x}{2 + \sqrt{x}} $ no ponto onde a abscissa é 1. Depois disso, vamos calcular a área do triângulo formado por essas duas retas e pelo eixo $ x $. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas para achar as inclinações das retas e un pouco de geometria para a área do triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de $ f(1) $ para saber as coordenadas do ponto onde faremos as tangentes e normais. Substituindo $ x = 1 $ na função:
f(1)
Então, o ponto de interesse é $ (1, \frac{2}{3}) $.

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada de $ f(x) $ para determinar a inclinação da reta tangente no ponto $ x = 1 $. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação ou a inclinação da reta tangente naquele ponto.
A função é:
f(x)
Vamos aplicar a regra do quociente para derivar:
x = 1
Simplificando:
f(x) = 2x2 + raizx

Passo 4

Vamos calcular $ f’(1) $ para achar a inclinação da reta tangente no ponto $ x = 1 $:
f'(1)
Então, a inclinação da reta tangente é $ \frac{5}{9} $.

Passo 5

Com a inclinação da tangente ($ m_t = \frac{5}{9} $) e o ponto $ (1, \frac{2}{3}) $, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
mt = 59
Substituindo os valores:
(1, 23)
Simplificando:
y - y1 = mt (x - x1)
Então, a equação da reta tangente é:
y - 23 = 59 (x - 1)

Passo 6

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Sabemos que se a inclinação da tangente é $ m_t $, a inclinação da normal $ m_n $ é o negativo do inverso:
mt

Passo 7

Usando a inclinação da normal ($ m_n = -\frac{9}{5} $) e o mesmo ponto $ (1, \frac{2}{3}) $, aplicamos a equação ponto-inclinação:
mn = -95
Simplificando:
(1, 23)
Então, a equação da reta normal é:
y - 23 = -95(x - 1)

Passo 8

Agora, vamos encontrar os pontos onde essas retas interceptam o eixo $ x $. Para isso, colocamos $ y = 0 $ em cada equação.
Para a reta tangente:
x
Então, a reta tangente corta o eixo $ x $ em $ \left( -\frac{1}{5}, 0 \right) $.
Para a reta normal:
y = 0
Então, a reta normal corta o eixo $ x $ em $ \left( \frac{37}{27}, 0 \right) $.

Passo 9

O triângulo é formado pelos pontos de interseção das duas retas com o eixo $ x $ e o ponto de tangência $ (1, \frac{2}{3}) $.
As coordenadas dos vértices são:
  • $ A = \left( -\frac{1}{5}, 0 \right) $
  • $ B = \left( \frac{37}{27}, 0 \right) $
  • $ C = \left( 1, \frac{2}{3} \right) $
Podemos usar a fórmula da área do triângulo com três pontos:
x Á
Substituindo:
(1, 23) Á
Simplificando:
A = ( -15, 0 ) Á

Resposta

A área do triângulo é $ \frac{212}{405} $ unidades de área.

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