Dados o ponto e o vetor , obtenha os itens a seguir:
Equações paramétricas da reta .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá um ponto no espaço, que é , e um vetor . O que precisamos encontrar são as equações paramétricas da reta que passa por esse ponto e segue na direção desse vetor. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, onde representamos retas no espaço tridimensional usando vetores e pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são equações paramétricas de uma reta. Basicamente, elas descrevem cada coordenada (x, y, z) da reta em função de um parâmetro, geralmente chamado de . A forma geral das equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e tem direção representada pelo vetor é:
Aqui, t pode ser qualquer número real e indica diferentes pontos na reta.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso caso. Temos:
Ponto A = (2, -5, 3), então x0 = 2, y0 = -5 e z0 = 3.
Vetor v = (-3, 1, 6), então a = -3, b = 1 e c = 6.
Substituindo esses valores na fórmula geral, teremos:
x = 2 + (-3) cdot t y = -5 + 1 cdot t z = 3 + 6 cdot t
Passo 4
Simplificando as equações, ficamos com:
x = 2 - 3t y = -5 + t z = 3 + 6t
Essas são as equações que descrevem todos os pontos da reta r no espaço tridimensional.