Dados os pontos A(0, 1,−1) e B(1, 2,−1) e os vetores u = (−2,−1, 1), v = (3, 0,−1).
a) Verifique que os vetores AB, u e v formam uma base para o R3.
b) Escreva as coordenadas de w = (−2, 2, 2) em relação a base do R3 do ítem a).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear. A gente tem dois pontos no espaço e dois vetores, e precisa fazer duas coisas: primeiro, verificar se esses vetores formam uma base para o espaço tridimensional R^3; depois, expressar outro vetor em termos dessa base. Para isso, vamos usar conceitos de vetores, base e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor AB. Isso significa subtrair as coordenadas de A das coordenadas de B:
AB = B - A = (1 - 0, 2 - 1, -1 - (-1)) = (1, 1, 0)

Passo 3

Agora, temos os três vetores: AB = (1, 1, 0), u = (-2, -1, 1) e v = (3, 0, -1). Para verificar se eles formam uma base de R^3, precisamos checar se são linearmente independentes.

Passo 4

Uma maneira fácil de verificar a independência linear é montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e formam uma base.
1 & -2 & 3 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1

Passo 5

Vamos calcular o determinante dessa matriz:
det &= 1 cdot -1 & 0 1 & -1 - (-2) cdot 1 & 0 0 & -1 + 3 cdot 1 & -1 0 & 1 &= 1 cdot [(-1)(-1) - (0)(1)] + 2 cdot [(1)(-1) - (0)(0)] + 3 cdot [(1)(1) - (-1)(0)] &= 1 cdot (1 - 0) + 2 cdot (-1 - 0) + 3 cdot (1 - 0) &= 1 - 2 + 3 &= 2

Passo 6

Como o determinante é 2, que é diferente de zero, os vetores AB, u e v são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para R^3.

Passo 7

Agora, para a parte b), precisamos expressar o vetor w = (-2, 2, 2) em termos dessa base. Isso significa encontrar escalares a, b e c tais que:
w = aAB + bu + cv

Passo 8

Vamos montar o sistema de equações a partir das componentes:
1a - 2b + 3c = -2 1a - 1b + 0c = 2 0a + 1b - 1c = 2

Passo 9

Resolvendo o sistema passo a passo:
Primeira equação: a - 2b + 3c = -2
Segunda equação: a - b = 2 Rightarrow a = 2 + b
Terceira equação: b - c = 2 Rightarrow c = b - 2

Passo 10

Substituindo a = 2 + b e c = b - 2 na primeira equação:
(2 + b) - 2b + 3(b - 2) = -2
Simplificando:
2 + b - 2b + 3b - 6 = -2 2 + (b - 2b + 3b) - 6 = -2 2 + 2b - 6 = -2 2b - 4 = -2 2b = 2 b = 1

Passo 11

Agora que temos b = 1, substituímos de volta para encontrar a e c:
a = 2 + b = 2 + 1 = 3
c = b - 2 = 1 - 2 = -1

Resposta

As coordenadas de w = (-2, 2, 2) na base formada por AB, u e v são (3, 1, -1).

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