Dados os pontos A(0, 1,−1) e B(1, 2,−1) e os vetores u = (−2,−1, 1), v = (3, 0,−1).
a) Verifique que os vetores AB, u e v formam uma base para o R3.
b) Escreva as coordenadas de w = (−2, 2, 2) em relação a base do R3 do ítem a).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear. A gente tem dois pontos no espaço e dois vetores, e precisa fazer duas coisas: primeiro, verificar se esses vetores formam uma base para o espaço tridimensional ; depois, expressar outro vetor em termos dessa base. Para isso, vamos usar conceitos de vetores, base e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor . Isso significa subtrair as coordenadas de A das coordenadas de B:
Passo 3
Agora, temos os três vetores: , e . Para verificar se eles formam uma base de , precisamos checar se são linearmente independentes.
Passo 4
Uma maneira fácil de verificar a independência linear é montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e formam uma base.