Dados os pontos A(13, 21), B(15, 29), C(17, 22) e D(20, 20), obtenha o respectivo polinômio interpolador.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá quatro pontos: A(13, 21), B(15, 29), C(17, 22) e D(20, 20). O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o polinômio interpolador que passa por todos esses pontos. Isso está no conteúdo de Álgebra, mais especificamente em Interpolação Polinomial. Para resolver isso, vamos precisar montar um polinômio de grau 3 (já que temos quatro pontos) e encontrar seus coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é interpolação polinomial. Basicamente, é um método para encontrar um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. No nosso caso, como temos quatro pontos, o polinômio terá grau 3, e a forma geral dele é:
P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
Aqui, $ a $, $ b $, $ c $ e $ d $ são os coeficientes que precisamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos montar um sistema de equações usando as coordenadas dos pontos fornecidos. Como o polinômio deve passar por cada ponto, substituímos $ x $ e $ P(x) $ pelos valores de cada ponto.
Para o ponto A(13, 21):
x
Para o ponto B(15, 29):
P(x)
Para o ponto C(17, 22):
a(13)^3 + b(13)^2 + c(13) + d = 21
Para o ponto D(20, 20):
a(15)^3 + b(15)^2 + c(15) + d = 29

Passo 4

Vamos simplificar essas equações:
  1. $ 2197a + 169b + 13c + d = 21 $
  2. $ 3375a + 225b + 15c + d = 29 $
  3. $ 4913a + 289b + 17c + d = 22 $
  4. $ 8000a + 400b + 20c + d = 20 $
Agora, temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas. Podemos resolver esse sistema usando métodos como substituição, eliminação ou matrizes. Vamos optar pela eliminação para facilitar.

Passo 5

Primeiro, vamos subtrair a primeira equação da segunda, da terceira e da quarta para eliminar $ d $:
2 - 1:
d
(3375a - 2197a) + (225b - 169b) + (15c - 13c) = 29 - 21
3 - 1:
1178a + 56b + 2c = 8
(4913a - 2197a) + (289b - 169b) + (17c - 13c) = 22 - 21
4 - 1:
2716a + 120b + 4c = 1
(8000a - 2197a) + (400b - 169b) + (20c - 13c) = 20 - 21

Passo 6

Agora, temos um sistema de três equações:
  1. $ 1178a + 56b + 2c = 8 $
  2. $ 2716a + 120b + 4c = 1 $
  3. $ 5803a + 231b + 7c = -1 $
Vamos simplificar essas equações. Podemos, por exemplo, dividir a primeira equação por 2:
1178a + 56b + 2c = 8
E a segunda por 4:
2716a + 120b + 4c = 1
E a terceira por 7:
5803a + 231b + 7c = -1

Passo 7

Agora, vamos subtrair a primeira equação simplificada da segunda e da terceira para eliminar $ c $:
Segunda - Primeira:
c
(679a - 589a) + (30b - 28b) = 0.25 - 4
Terceira - Primeira:
90a + 2b = -3.75
(829a - 589a) + (33b - 28b) = -0.142857 - 4

Passo 8

Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
  1. $ 90a + 2b = -3.75 $
  2. $ 240a + 5b = -4.142857 $
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a primeira equação por 5 e a segunda por 2 para igualar os coeficientes de $ b $:
  1. $ 450a + 10b = -18.75 $
  2. $ 480a + 10b = -8.285714 $
Subtraindo a primeira da segunda:
90a + 2b = -3.75
240a + 5b = -4.142857
b
450a + 10b = -18.75

Passo 9

Agora que temos $ a $, vamos encontrar $ b $ usando uma das equações anteriores. Usando $ 90a + 2b = -3.75 $:
a
b
90a + 2b = -3.75
90(0.34881) + 2b = -3.75
31.3929 + 2b = -3.75

Passo 10

Com $ a $ e $ b $ encontrados, vamos encontrar $ c $ usando a equação simplificada $ 589a + 28b + c = 4 $:
a
b
c
589a + 28b + c = 4
589(0.34881) + 28(-17.57145) + c = 4

Passo 11

Finalmente, vamos encontrar $ d $ usando a primeira equação original:
d
2197a + 169b + 13c + d = 21
2197(0.34881) + 169(-17.57145) + 13(290.88) + d = 21
765.305 + (-2971.142) + 3781.44 + d = 21
(765.305 - 2971.142 + 3781.44) + d = 21
1575.603 + d = 21
d = 21 - 1575.603

Resposta

O polinômio interpolador que passa pelos pontos A(13, 21), B(15, 29), C(17, 22) e D(20, 20) é aproximadamente:
P(x) = 0.34881x^3 - 17.57145x^2 + 290.88x - 1554.603

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