Dados os pontos A(13, 21), B(15, 29), C(17, 22) e D(20, 20), obtenha o respectivo polinômio interpolador.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá quatro pontos: A(13, 21), B(15, 29), C(17, 22) e D(20, 20). O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o polinômio interpolador que passa por todos esses pontos. Isso está no conteúdo de Álgebra, mais especificamente em Interpolação Polinomial. Para resolver isso, vamos precisar montar um polinômio de grau 3 (já que temos quatro pontos) e encontrar seus coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é interpolação polinomial. Basicamente, é um método para encontrar um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. No nosso caso, como temos quatro pontos, o polinômio terá grau 3, e a forma geral dele é:
Aqui, $ a $, $ b $, $ c $ e $ d $ são os coeficientes que precisamos descobrir.
Passo 3
Agora, vamos montar um sistema de equações usando as coordenadas dos pontos fornecidos. Como o polinômio deve passar por cada ponto, substituímos $ x $ e $ P(x) $ pelos valores de cada ponto.
Para o ponto A(13, 21):
Para o ponto B(15, 29):
Para o ponto C(17, 22):
Para o ponto D(20, 20):
Passo 4
Vamos simplificar essas equações:
- $ 2197a + 169b + 13c + d = 21 $
- $ 3375a + 225b + 15c + d = 29 $
- $ 4913a + 289b + 17c + d = 22 $
- $ 8000a + 400b + 20c + d = 20 $
Agora, temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas. Podemos resolver esse sistema usando métodos como substituição, eliminação ou matrizes. Vamos optar pela eliminação para facilitar.
Passo 5
Primeiro, vamos subtrair a primeira equação da segunda, da terceira e da quarta para eliminar $ d $:
2 - 1:
3 - 1:
4 - 1:
Passo 6
Agora, temos um sistema de três equações:
- $ 1178a + 56b + 2c = 8 $
- $ 2716a + 120b + 4c = 1 $
- $ 5803a + 231b + 7c = -1 $
Vamos simplificar essas equações. Podemos, por exemplo, dividir a primeira equação por 2:
E a segunda por 4:
E a terceira por 7:
Passo 7
Agora, vamos subtrair a primeira equação simplificada da segunda e da terceira para eliminar $ c $:
Segunda - Primeira:
Terceira - Primeira:
Passo 8
Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
- $ 90a + 2b = -3.75 $
- $ 240a + 5b = -4.142857 $
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a primeira equação por 5 e a segunda por 2 para igualar os coeficientes de $ b $:
- $ 450a + 10b = -18.75 $
- $ 480a + 10b = -8.285714 $
Subtraindo a primeira da segunda:
Passo 9
Agora que temos $ a $, vamos encontrar $ b $ usando uma das equações anteriores. Usando $ 90a + 2b = -3.75 $:
Passo 10
Com $ a $ e $ b $ encontrados, vamos encontrar $ c $ usando a equação simplificada $ 589a + 28b + c = 4 $:
Passo 11
Finalmente, vamos encontrar $ d $ usando a primeira equação original:
Resposta
O polinômio interpolador que passa pelos pontos A(13, 21), B(15, 29), C(17, 22) e D(20, 20) é aproximadamente: