Podemos aplicar as derivadas parciais no estudo de taxas de variação associadas a funções de duas ou mais variáveis reais. Suponha que a temperatura em um ponto (x, y) de uma chapa de metal é dada por T(x,y) = 200/x² + 3y + 60 onde T é medido em graus Celsius, x e y são medidos em metros.
Assinale a alternativa que indica corretamente a taxa de variação de temperatura no ponto (2,2) na direção de y.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função que descreve a temperatura numa chapa de metal: $ T(x, y) = \frac{200}{x^2} + 3y + 60 $. Aqui, $ T $ é a temperatura em graus Celsius, e $ x $ e $ y $ são posições em metros na chapa. O objetivo é encontrar a taxa de variação da temperatura no ponto (2,2) na direção do eixo $ y $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda quando uma das variáveis muda, mantendo a outra fixa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a taxa de variação na direção de $ y $. Isso quer dizer que queremos ver como a temperatura muda quando movemos apenas na direção de $ y $, ou seja, alterando $ y $ e mantendo $ x $ constante. Para isso, precisamos calcular a derivada parcial de $ T $ em relação a $ y $.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de $ T $ em relação a $ y $. A derivada parcial de uma função em relação a uma variável é a derivada normal, mas tratando as outras variáveis como constantes. Então, derivando $ T(x, y) = \frac{200}{x^2} + 3y + 60 $ em relação a $ y $:
T

Passo 4

Vamos derivar cada termo separadamente:
  • $ \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{200}{x^2}\right) = 0 $ (porque não há $ y $ aqui, então a derivada é zero).
  • $ \frac{\partial}{\partial y}(3y) = 3 $ (a derivada de $ 3y $ em relação a $ y $ é 3).
  • $ \frac{\partial}{\partial y}(60) = 0 $ (constante, a derivada é zero).
Então, juntando tudo:
partialpartial y(200x^2) = 0

Passo 5

Agora, temos a derivada parcial em relação a $ y $, que é 3. Isso significa que, na direção de $ y $, a temperatura aumenta 3 graus Celsius por metro.

Resposta

A taxa de variação da temperatura no ponto (2,2) na direção de $ y $ é $ 3 $ graus Celsius por metro.

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