Dados os pontos e a reta , escreva equações da reta t que passa por P e é perpendicular à reta r. Ache as coordenadas do ponto R onde t encontra r, a distância de P a r e as coordenadas do ponto Q, simétrico de P em relação a R.
Passo 1
O enunciado dá o ponto P=(2,-4,12) e a reta r de equações
x=m, y=1-2m, z=2+3m
Pede-se a reta t que passa por P e é perpendicular a r, o ponto R de interseção entre t e r, a distância de P a r e o ponto Q simétrico de P em relação a R. Para isso, vamos usar o vetor diretor de r, o produto escalar para impor ortogonalidade e a fórmula de reflexão em um ponto médio.
Passo 2
A reta r em forma vetorial é
(x,y,z)=(m,;1-2m,;2+3m)
e seu vetor diretor é
vec v=(1,,-2,,3)
Passo 3
Um ponto genérico de r é
R(m)=(m,;1-2m,;2+3m)
O vetor de P até esse R é
PR=(m-2,;5-2m,;-10+3m),
pois 5-2m=(1-2m)-(-4) e -10+3m=(2+3m)-12. Impomos agora
PRcdotvec v=0
ou seja,
(m-2)cdot1+(5-2m)cdot(-2)+(-10+3m)cdot3=0
Desenvolvendo, obtém-se 14m-42=0 e, portanto,
m=3
Logo
R=R(3)=(3,,-5,,11)
Passo 4
O vetor PR com m=3 vale
PR=(1,,-1,,-1),
que é perpendicular a vec v. Assim, a reta t que passa por P e tem direção PR é
(x,y,z)=(2,,-4,,12)+lambda,(1,,-1,,-1),
isto é, em forma paramétrica,
x=2+lambda, y=-4-lambda, z=12-lambda
Passo 5
A distância de P a r é o comprimento de PR:
d(P,r)=|PR|=raiz1^2+(-1)^2+(-1)^2=raiz3
Passo 6
O ponto Q, simétrico de P em relação a R, satisfaz vec R=(vec P+vec Q)/2. Logo