Determine uma equação do plano pi, em cada caso:
pi passa pelos pontos A, B, C com A=(1,2,1), B=(-1,0,2) e C=(2,5,0);

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano pi que passa pelos pontos
A=(1,2,1), B=(-1,0,2), C=(2,5,0)
Estamos em Álgebra Vetorial, e vamos usar vetores diretores AB e AC, o produto vetorial para obter o vetor normal n, e então escrever a forma ncdot (X - A)=0.

Passo 2

Calcular os vetores AB e AC subtraindo as coordenadas:
AB = B - A = (-1-1,;0-2,;2-1) = (-2,-2,1),
AC = C - A = (2-1,;5-2,;0-1) = (1,3,-1)

Passo 3

Computar o produto vetorial n = ABtimes AC, que é perpendicular ao plano:
n = ABtimes AC = l((-2)(-1)-1cdot3,; -l((-2)(-1)-1cdot1r),;(-2)cdot3-(-2)cdot1r) = (-1,-1,-4)
Podemos simplificar mudando o sinal para ficar com números positivos:
n = (1,1,4)

Passo 4

A equação geral do plano com normal n=(a,b,c) que passa por A=(x0,y0,z0) é
a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0
Substituindo a=1, b=1, c=4 e A=(1,2,1), vem
1,(x-1)+1,(y-2)+4,(z-1)=0
x-1+y-2+4z-4=0
x + y + 4z -7 = 0

Resposta

A equação do plano pi é
x + y + 4z - 7 = 0

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