Sendo A=(2,1,-1) e B=(4,5,1), dê equações paramétricas da reta A B. Mostre que os pontos R=(8,13,5) e S=(0,-3,-3) estão na reta A B. Mostre que o ponto T=(1,1,2) está fora da reta. Faça uma ilustração do exercício.

Passo 1

O enunciado trata de geometria analítica no espaço: queremos obter as equações paramétricas da reta que passa por A=(2,1,-1) e B=(4,5,1), e depois verificar se certos pontos R, S e T pertencem ou não a essa reta. Vamos usar o vetor diretor da reta e testar valores do parâmetro.

Passo 2

O vetor diretor v da reta AB é dado por
v = B - A = (4-2,;5-1,;1-(-1)) = (2,4,2)
Logo, uma forma paramétrica da reta é
x = 2 + 2t, y = 1 + 4t, z = -1 + 2t, tinR

Passo 3

Para ver se R=(8,13,5) está na reta, igualamos
2 + 2t = 8 implies t = 3
Substituindo em y e z:
y = 1 + 4cdot3 = 13, z = -1 + 2cdot3 = 5,
que coincidem com as coordenadas de R. Portanto, R pertence à reta (no parâmetro t=3).

Passo 4

Para S=(0,-3,-3), fazemos
2 + 2t = 0 implies t = -1
Então
y = 1 + 4(-1) = -3, z = -1 + 2(-1) = -3,
coincidindo com S. Logo, S também está na reta (no parâmetro t=-1).

Passo 5

Para T=(1,1,2), tentamos
2 + 2t = 1 implies t = -tfrac12
Mas então
y = 1 + 4(-tfrac12) = -1 neq 1,
logo não conseguimos simultaneamente igualar y e z. Assim, T não pertence à reta.

Passo 6

Ilustração esquemática (projeção no plano , com indicação de ):
      y
      \uparrow
 \(13\) R *             (\(8,13\),\(5\))
      |
  \(5\) B *             (\(4,5\),\(1\))
      |
  \(1\) A *\text{--}\(\bullet\) T       A(\(2,1\),-\(1\)), T(\(1,1\),\(2\))
      |
 -\(3\) S *             (\(0\),-\(3\),-\(3\))
      \(+\)\text{----------------}\(\to\) x
Eixo sai da página; os asteriscos marcam A, B, R, S sobre a reta, o ponto T (círculo) está fora dela.

Resposta

As equações paramétricas da reta AB são
x = 2 + 2t, y = 1 + 4t, z = -1 + 2t, tinR
Os pontos R e S pertencem à reta (para t=3 e t=-1, respectivamente) e o ponto T não pertence à reta.

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