Sendo
e
, dê equações paramétricas da reta
. Mostre que os pontos
e
estão na reta
. Mostre que o ponto
está fora da reta. Faça uma ilustração do exercício.
Passo 1
O enunciado trata de geometria analítica no espaço: queremos obter as equações paramétricas da reta que passa por
e
, e depois verificar se certos pontos
,
e
pertencem ou não a essa reta. Vamos usar o vetor diretor da reta e testar valores do parâmetro.
Passo 2
O vetor diretor
da reta
é dado por
Logo, uma forma paramétrica da reta é
Passo 3
Para ver se
está na reta, igualamos
Substituindo em
e
:
que coincidem com as coordenadas de
. Portanto,
pertence à reta (no parâmetro
).
Passo 4
Para
, fazemos
Então
coincidindo com
. Logo,
também está na reta (no parâmetro
).
Passo 5
Para
, tentamos
Mas então
logo não conseguimos simultaneamente igualar
e
. Assim,
não pertence à reta.
Passo 6
Ilustração esquemática (projeção no plano
, com indicação de
):
y
\uparrow
\(13\) R * (\(8,13\),\(5\))
|
\(5\) B * (\(4,5\),\(1\))
|
\(1\) A *\text{--}\(\bullet\) T A(\(2,1\),-\(1\)), T(\(1,1\),\(2\))
|
-\(3\) S * (\(0\),-\(3\),-\(3\))
\(+\)\text{----------------}\(\to\) x
Eixo
sai da página; os asteriscos marcam A, B, R, S sobre a reta, o ponto T (círculo) está fora dela.
Resposta
As equações paramétricas da reta
são
Os pontos
e
pertencem à reta (para
e
, respectivamente) e o ponto
não pertence à reta.