Dados os pontos (2 ;-18),(4 ; 28) e (6 ; 76). Obtenha o polinômio interpolador de grau máximo possível e use-o pra acrescentar, ao conjunto de pontos dados, as informações referentes a x=3 e x=5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos: (2, -18), (4, 28) e (6, 76). A missão é encontrar um polinômio interpolador que passe por todos esses pontos e, depois, usar esse polinômio para descobrir os valores de y quando x for 3 e 5. A matéria aqui é Interpolação Polinomial, e vamos precisar do conteúdo sobre como montar e resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes do polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um polinômio interpolador. É um polinômio que passa exatamente por todos os pontos dados. Como temos três pontos, o polinômio de grau máximo possível será de grau 2 (quadrático). A forma geral de um polinômio quadrático é:
P(x) = ax^2 + bx + c
Nosso objetivo é encontrar os valores de a, b e c que fazem com que o polinômio passe por cada um dos três pontos.

Passo 3

Para encontrar a, b e c, vamos substituir os valores dos pontos na equação do polinômio. Isso vai gerar um sistema de três equações:
  1. Para o ponto (2, -18):
a(2)^2 + b(2) + c = -18 4a + 2b + c = -18
  1. Para o ponto (4, 28):
a(4)^2 + b(4) + c = 28 16a + 4b + c = 28
  1. Para o ponto (6, 76):
a(6)^2 + b(6) + c = 76 36a + 6b + c = 76
Agora, temos o seguinte sistema:
4a + 2b + c = -18 16a + 4b + c = 28 36a + 6b + c = 76

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Uma maneira fácil é subtrair as equações para eliminar uma das incógnitas.
Primeiro, subtraia a primeira equação da segunda:
(16a + 4b + c) - (4a + 2b + c) = 28 - (-18) 12a + 2b = 46 6a + b = 23 (Equação 4) çã
Agora, subtraia a segunda equação da terceira:
(36a + 6b + c) - (16a + 4b + c) = 76 - 28 20a + 2b = 48 10a + b = 24 (Equação 5) çã
Agora, temos duas novas equações:
6a + b = 23 (Equação 4) 10a + b = 24 (Equação 5) çãçã
Vamos subtrair a Equação 4 da Equação 5:
(10a + b) - (6a + b) = 24 - 23 4a = 1 a = 14
Agora que temos a, vamos substituir na Equação 4 para encontrar b:
6(14) + b = 23 64 + b = 23 32 + b = 23 b = 23 - 32 b = 462 - 32 b = 432
Agora, usamos a e b na primeira equação para encontrar c:
4(14) + 2(432) + c = -18 1 + 43 + c = -18 44 + c = -18 c = -18 - 44 c = -62

Passo 5

Agora que temos a = 14, b = 432 e c = -62, podemos montar o polinômio interpolador:
P(x) = 14x^2 + 432x - 62

Passo 6

Vamos usar esse polinômio para encontrar os valores quando x = 3 e x = 5.
  1. Para x = 3:
P(3) = 14(3)^2 + 432(3) - 62 P(3) = 14(9) + 1292 - 62 P(3) = 94 + 1292 - 62 P(3) = 2,25 + 64,5 - 62 P(3) = 4,75
  1. Para x = 5:
P(5) = 14(5)^2 + 432(5) - 62 P(5) = 14(25) + 2152 - 62 P(5) = 254 + 107,5 - 62 P(5) = 6,25 + 107,5 - 62 P(5) = 51,75

Resposta

O polinômio interpolador de grau 2 é:
P(x) = 14x^2 + 432x - 62
Usando esse polinômio, adicionamos os pontos (3; 4,75) e (5; 51,75) ao conjunto original.

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