Dados os pontos e . Obtenha o polinômio interpolador de grau máximo possível e use-o pra acrescentar, ao conjunto de pontos dados, as informações referentes a e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos: , e . A missão é encontrar um polinômio interpolador que passe por todos esses pontos e, depois, usar esse polinômio para descobrir os valores de quando for 3 e 5. A matéria aqui é Interpolação Polinomial, e vamos precisar do conteúdo sobre como montar e resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes do polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um polinômio interpolador. É um polinômio que passa exatamente por todos os pontos dados. Como temos três pontos, o polinômio de grau máximo possível será de grau 2 (quadrático). A forma geral de um polinômio quadrático é:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que fazem com que o polinômio passe por cada um dos três pontos.
Passo 3
Para encontrar , e , vamos substituir os valores dos pontos na equação do polinômio. Isso vai gerar um sistema de três equações:
Para o ponto :
Para o ponto :
Para o ponto :
Agora, temos o seguinte sistema:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. Uma maneira fácil é subtrair as equações para eliminar uma das incógnitas.
Primeiro, subtraia a primeira equação da segunda:
(16a + 4b + c) - (4a + 2b + c) = 28 - (-18) 12a + 2b = 46 6a + b = 23 (Equação 4) çã
Agora, subtraia a segunda equação da terceira:
(36a + 6b + c) - (16a + 4b + c) = 76 - 28 20a + 2b = 48 10a + b = 24 (Equação 5) çã
Agora, temos duas novas equações:
6a + b = 23 (Equação 4) 10a + b = 24 (Equação 5) çãçã
Vamos subtrair a Equação 4 da Equação 5:
(10a + b) - (6a + b) = 24 - 23 4a = 1 a = 14
Agora que temos a, vamos substituir na Equação 4 para encontrar b:
6(14) + b = 23 64 + b = 23 32 + b = 23 b = 23 - 32 b = 462 - 32 b = 432
Agora, usamos a e b na primeira equação para encontrar c:
4(14) + 2(432) + c = -18 1 + 43 + c = -18 44 + c = -18 c = -18 - 44 c = -62
Passo 5
Agora que temos a = 14, b = 432 e c = -62, podemos montar o polinômio interpolador:
P(x) = 14x^2 + 432x - 62
Passo 6
Vamos usar esse polinômio para encontrar os valores quando x = 3 e x = 5.