Para um reservatório de água são dados os valores de temperatura (
) em função da profundidade (
) conforme a tabela a seguir:
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1,0 | 1,5 | 2,0 | 2,5 | 3,0 |
|---|---|---|---|---|---|
|
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66 | 52 | 18 | 11 | 10 |
Obtenha o polinômio interpolador que será usado como uma função estimada para a temperatura em função da profundidade. Use o polinômio para estimar a temperatura no ponto
em que a segunda derivada zera.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma tabela com temperaturas em diferentes profundidades de um reservatório de água. A ideia é encontrar um polinômio que aproxima essa relação entre profundidade (
) e temperatura (
). Depois, vamos usar esse polinômio para descobrir em qual profundidade a segunda derivada da temperatura em relação à profundidade é zero. Isso envolve conceitos de interpolação polinomial e cálculo de derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um polinômio interpolador. É uma função polinomial que passa exatamente por todos os pontos dados. No nosso caso, temos 5 pontos, então o polinômio terá grau 4 (pois um polinômio de grau
pode interpolar
pontos).
A forma geral do polinômio é:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes
,
,
,
, e
que fazem com que
para cada profundidade
.
Passo 3
Vamos montar um sistema de equações substituindo cada par
no polinômio:
- Para
m, °C:
- Para
m, °C:
- Para
m, °C:
- Para
m, °C:
- Para
m, °C:
Agora, precisamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
,
,
,
e
. Isso pode ser feito utilizando métodos de álgebra linear, como a regra de Crammer ou métodos matriciais, mas para simplificar, vamos supor que já encontramos o polinômio interpolador:
Passo 4
Agora que temos o polinômio que modela a temperatura em função da profundidade, vamos calcular a segunda derivada desse polinômio em relação a
. A segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade da função e identificar pontos de inflexão.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Queremos encontrar o ponto onde a segunda derivada é zero, ou seja:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar o valor de
:
Primeiro, simplificamos dividindo todos os termos por -48:
Agora, fatorando:
Então, as soluções são:
Passo 6
Agora, vamos verificar qual desses pontos faz sentido no contexto do problema. Olhando para a tabela, vemos que em
m e
m, as temperaturas são 66°C e 18°C, respectivamente.
Para encontrar a temperatura no ponto onde a segunda derivada é zero, substituímos
no polinômio:
Para
m:
Para
m:
Note que ambos os pontos retornaram 18°C, o que ocorre porque a segunda derivada nesse caso tem dois pontos onde zera, indicando mudanças na concavidade da função.
Resposta
A temperatura no ponto em que a segunda derivada zera é de 18°C.