• Questão 37. Prove, usando a definição formal de limite, que as seguintes funções são contínuas nos pontos dados
    f(x)=x^3 em p=2

Passo 1

O exercício pede para mostrar que a função f(x)=x^3 é contínua em p=2, usando a definição epsilon-delta de limite.
A definição de continuidade em p=2 diz que devemos provar: para todo varepsilon>0 existe de0 tal que, se |x-2|, então |f(x)-f(2)|.

Passo 2

Começamos calculando a diferença entre f(x) e f(2):
|f(x)-f(2)| = |x^3 - 2^3| = |x^3 - 8| = |x-2|;|x^2 + 2x + 4|

Passo 3

Para controlar o fator |x^2+2x+4|, restringimos |x-2|<1. Isso implica
1 < x < 3
e, portanto,
x^2 < 9, 2x < 6, x^2 + 2x + 4 ,<=, 9 + 6 + 4 = 19

Passo 4

Logo, sempre que |x-2|<1 temos
|f(x)-f(2)| = |x-2|,|x^2+2x+4| <= 19,|x-2|

Passo 5

Para garantir |f(x)-f(2)|, basta escolher
de

Passo 6

De fato, se |x-2| então |x-2|<1 e |x-2|, de onde
|f(x)-f(2)| <= 19,|x-2| < 19cdot (varepsilon/19) = varepsilon

Passo 7

Assim, mostramos que para todo varepsilon>0 existe de0 satisfazendo a definição formal, o que prova que f(x)=x^3 é contínua em x=2.

Resposta

A função f(x)=x^3 é contínua em x=2.

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