- Questão 37. Prove, usando a definição formal de limite, que as seguintes funções são contínuas nos pontos dados
em
Passo 1
O exercício pede para mostrar que a função
é contínua em
, usando a definição epsilon-delta de limite.
A definição de continuidade em diz que devemos provar: para todo
existe
tal que, se
, então
.
A definição de continuidade em
Passo 2
Começamos calculando a diferença entre
e
:
Passo 3
Para controlar o fator
, restringimos
. Isso implica
e, portanto,
Passo 4
Logo, sempre que
temos
Passo 5
Para garantir
, basta escolher
Passo 6
De fato, se
então
e
, de onde
Passo 7
Assim, mostramos que para todo
existe
satisfazendo a definição formal, o que prova que
é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua em
.