Dados os sistemas a seguir, resolva-os, se possível, usando os métodos iterativos estudos. Considere cinco casas decimais e erro menor que .
Observação: Antes de resolver os sistemas verifiquem os testes de convergência, e se necessário, realize permutações para atendê-los.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema , com
usando métodos iterativos (por exemplo, Jacobi), com precisão de cinco casas decimais e erro máximo varepsilon=10^-2. Vamos precisar verificar o critério de convergência (dominância diagonal) e, se for o caso, permutar o sistema para garanti-lo.
Passo 2
Ao calcular a soma dos módulos dos coeficientes não diagonais em cada linha de A, vemos que
|aii|
outro modo: a matriz não é estritamente diagonal dominante. Logo, Jacobi/Gauss-Seidel não convergem garantidamente sem permutações.
Passo 3
Para impor dominância diagonal, trocamos as colunas 1↔2 e 3↔4 de A. Definindo novas variáveis
y1=x2, y2=x1, y3=x4, y4=x3,
obtém-se o sistema
A''y=b,
com
A''=4&1&-1&0-1&4&0&-1-1&0&4&-10&-1&-1&4,
que satisfaz strictamente |a''ii|>sumjne i|a''ij|. O vetor b não muda e o chute inicial vira y^(0)=(x^(0)2,x^(0)1,x^(0)4,x^(0)3)^T=(20,10,10,15)^T
Passo 4
Escrevemos a iteração de Jacobi para y=(y1,y2,y3,y4)^T:
Calculando algumas iterações (arredondando cada componente a cinco decimais) até que y^(9)approx(14.06250,;19.82147,;21.07147,;20.22186)^T
observamos convergência em torno da 9ª iteração: