Dados os sistemas a seguir, resolva-os, se possível, usando os métodos iterativos estudos. Considere cinco casas decimais e erro menor que 0,01(varepsilon=10^-2).

Observação: Antes de resolver os sistemas verifiquem os testes de convergência, e se necessário, realize permutações para atendê-los.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema Ax=b, com
A=1 & 4 & 0 & -14 & -1 & -1 & 00 & -1 & -1 & 4-1 & 0 & 4 & -1, ;b=55455040,
usando métodos iterativos (por exemplo, Jacobi), com precisão de cinco casas decimais e erro máximo varepsilon=10^-2. Vamos precisar verificar o critério de convergência (dominância diagonal) e, se for o caso, permutar o sistema para garanti-lo.

Passo 2

Ao calcular a soma dos módulos dos coeficientes não diagonais em cada linha de A, vemos que
|aii|
outro modo: a matriz não é estritamente diagonal dominante. Logo, Jacobi/Gauss-Seidel não convergem garantidamente sem permutações.

Passo 3

Para impor dominância diagonal, trocamos as colunas 1↔2 e 3↔4 de A. Definindo novas variáveis
y1=x2, y2=x1, y3=x4, y4=x3,
obtém-se o sistema
A''y=b,
com
A''=4&1&-1&0-1&4&0&-1-1&0&4&-10&-1&-1&4,
que satisfaz strictamente
|a''ii|>sumjne i|a''ij|. O vetor b não muda e o chute inicial vira
y^(0)=(x^(0)2,x^(0)1,x^(0)4,x^(0)3)^T=(20,10,10,15)^T

Passo 4

Escrevemos a iteração de Jacobi para y=(y1,y2,y3,y4)^T:
y1^(k+1)&=55-y2^(k)+y3^(k)4, y2^(k+1)&=45+y1^(k)+y4^(k)4, y3^(k+1)&=50+y1^(k)+y4^(k)4, y4^(k+1)&=40+y2^(k)+y3^(k)4
Calculando algumas iterações (arredondando cada componente a cinco decimais) até que
y^(9)approx(14.06250,;19.82147,;21.07147,;20.22186)^T
observamos convergência em torno da 9ª iteração:

Passo 5

Por fim, voltamos às variáveis originais com
x1=y2, x2=y1, x3=y4, x4=y3,
ficando a solução aproximada do sistema original.

Resposta

x ≈ (19.82147,;14.06250,;20.22186,;21.07147)^T

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