Dados os pontos A(0,-3), B(3,3) e C(-2,-7), calcule as distâncias entre eles e , com base apenas nesses dados, verifique se A, B e C estão alinhados.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos os pontos A(0,−3), B(3,3) e C(−2,−7). O conteúdo aqui é cálculo de distância entre dois pontos no plano e critério de colinearidade a partir das distâncias. Vamos precisar da fórmula da distância: dado P₁(x₁,y₁) e P₂(x₂,y₂), d(P₁,P₂)=raiz(x₂−x₁)^2+(y₂−y₁)^2, e do fato de que três pontos são colineares se uma distância for igual à soma das outras duas.

Passo 2

Aplicação da fórmula para calcular AB:
d(A,B)=raiz(3-0)^2+(3-(-3))^2=raiz9+36=raiz45=3raiz5

Passo 3

Aplicação da fórmula para calcular AC:
d(A,C)=raiz(-2-0)^2+(-7-(-3))^2=raiz4+16=raiz20=2raiz5

Passo 4

Aplicação da fórmula para calcular BC:
d(B,C)=raiz(-2-3)^2+(-7-3)^2=raiz25+100=raiz125=5raiz5

Passo 5

Verificação da colinearidade: como
d(A,B)+d(A,C)=3raiz5+2raiz5=5raiz5=d(B,C),
está satisfeito o critério de que uma distância é igual à soma das outras duas. Portanto A, B e C são colineares.

Resposta

As distâncias são
AB = 3√5,
AC = 2√5,
BC = 5√5,
e os pontos A, B e C estão alinhados.

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