Mostre que a sequência
converge e calcule o valor do limite.
Passo 1
Beleza! O exercício pede para a gente mostrar que a sequência $ a_{n} = \frac{\pi^{n}}{n!} $ converge e encontrar o limite dela. Vamos usar conceitos de sequences (sequências) e limites, além de entender como o crescimento de $ \pi^{n} $ se compara ao de $ n! $ conforme $ n $ aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma sequência que converge. Dizemos que uma sequência converge se, conforme $ n $ fica maior e maior, os termos da sequência se aproximam de um valor específico, que chamamos de limite.
Passo 3
Agora, vamos analisar a sequência $ a_{n} = \frac{\pi^{n}}{n!} $. Aqui, $ \pi^{n} $ significa $ \pi $ multiplicado por ele mesmo $ n $ vezes, e $ n! $ é o fatorial de $ n $, que é o produto de todos os números inteiros de 1 até $ n $.
Passo 4
Para ver o que acontece com $ a_{n} $ quando $ n $ cresce, vamos comparar o crescimento de $ \pi^{n} $ com o de $ n! $. Sabemos que $ n! $ cresce muito mais rápido que $ \pi^{n} $ conforme $ n $ aumenta.
Passo 5
Outra maneira de ver isso é calculando a razão entre termos consecutivos da sequência:
À medida que $ n $ cresce, $ \frac{\pi}{n+1} $ fica menor e menor, tendendo a 0.
Passo 6
Como essa razão $ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} $ tende a 0, isso indica que os termos da sequência $ a_{n} $ também estão diminuindo e se aproximando de 0.
Passo 7
Portanto, concluímos que a sequência $ a_{n} = \frac{\pi^{n}}{n!} $ converge e o limite dela é 0.
Resposta
A sequência $ a_{n} = \frac{\pi^{n}}{n!} $ converge e o limite é 0.