Encontre uma representação em série de potências para a função
e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função $ f(x) = \int \frac{x^{3}}{1 - (4x)^2} , dx $ e determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e integração de séries termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que $ \frac{x^{3}}{1 - (4x)^2} = \frac{x^{3}}{1 - 16x^{2}} $. Nosso objetivo é encontrar uma série de potências para $ \frac{1}{1 - 16x^{2}} $, pois isso facilitará a integração.
Passo 3
Lembra da série geométrica? Pois é, ela é dada por:
Aqui, podemos identificar $ r = 16x^{2} $. Então, podemos escrever:
Isso nos dá:
Passo 4
Agora, voltando à nossa função original:
Podemos trocar a integral com a soma (sob certas condições de convergência, que já estamos considerando), então:
Passo 5
Integrando $ x^{2n + 3} $, temos:
Desconsiderando a constante de integração (já que estamos buscando uma representação geral), a série fica:
Podemos simplificar o denominador dividindo por 2:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a expressão para deixá-la mais elegante. Podemos reescrever $ 2n + 4 $ como $ 2(n + 2) $ e ajustar os índices da soma:
Ou seja:
Passo 7
Quanto ao intervalo de convergência, já vimos que a série geométrica $ \sum_{n=0}^{\infty} 16{n}x{2n} $ converge quando $ |16x^{2}| < 1 $, ou seja, quando:
Portanto, a representação em série de potências para $ f(x) $ converge para $ |x| < \frac{1}{4} $.
Resposta
A representação em série de potências para $ f(x) $ é:
E o intervalo de convergência é $ |x| < \frac{1}{4} $.