Encontre uma representação em série de potências para a função f(x)=integral x^31-(4 x)^2 d x e determine o intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função $ f(x) = \int \frac{x^{3}}{1 - (4x)^2} , dx $ e determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e integração de séries termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que $ \frac{x^{3}}{1 - (4x)^2} = \frac{x^{3}}{1 - 16x^{2}} $. Nosso objetivo é encontrar uma série de potências para $ \frac{1}{1 - 16x^{2}} $, pois isso facilitará a integração.

Passo 3

Lembra da série geométrica? Pois é, ela é dada por:
11 - r = sumn=0^infty r^n, para |r| < 1
Aqui, podemos identificar $ r = 16x^{2} $. Então, podemos escrever:
r = 16x^2
Isso nos dá:
11 - 16x^2 = sumn=0^infty (16x^2)^n = sumn=0^infty 16^n x^2n, para |16x^2| < 1

Passo 4

Agora, voltando à nossa função original:
f(x) = integral x^31 - 16x^2 , dx = integral x^3 ( sumn=0^infty 16^n x^2n ) , dx
Podemos trocar a integral com a soma (sob certas condições de convergência, que já estamos considerando), então:
f(x) = sumn=0^infty 16^n integral x^3 x^2n , dx = sumn=0^infty 16^n integral x^2n + 3 , dx

Passo 5

Integrando $ x^{2n + 3} $, temos:
x^2n + 3
Desconsiderando a constante de integração (já que estamos buscando uma representação geral), a série fica:
integral x^2n + 3 , dx = x^2n + 42n + 4 + C
Podemos simplificar o denominador dividindo por 2:
f(x) = sumn=0^infty 16^n2n + 4 x^2n + 4

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão para deixá-la mais elegante. Podemos reescrever $ 2n + 4 $ como $ 2(n + 2) $ e ajustar os índices da soma:
2n + 4
Ou seja:
2(n + 2)

Passo 7

Quanto ao intervalo de convergência, já vimos que a série geométrica $ \sum_{n=0}^{\infty} 16{n}x{2n} $ converge quando $ |16x^{2}| < 1 $, ou seja, quando:
sumn=0^infty 16^nx^2n
Portanto, a representação em série de potências para $ f(x) $ converge para $ |x| < \frac{1}{4} $.

Resposta

A representação em série de potências para $ f(x) $ é:
f(x)
E o intervalo de convergência é $ |x| < \frac{1}{4} $.

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