Dados os pontos A(1,3), B(2,-2), C(1,1) e D(7,-1), faça o que se pede:
a) Encontre os vetores \vec{u}=\overrightarrow{B A} e \vec{v}=\overrightarrow{C D}.
b) Verifique se esses vetores são ortogonais.
c) O vetor \vec{w}=\overrightarrow{D B} forma um ângulo agudo com o vetor \vec{Z}=\overrightarrow{B C} ? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá quatro pontos no plano e pede três coisas. Vou listar as informações e exatamente o que pedem (sem resolver ainda):
Pontos fornecidos:
A(1,3)
B(2,-2)
C(1,1)
D(7,-1)
Perguntas:
(a) Encontrar os vetores \vec{u}=\overrightarrow{B A} e \vec{v}=\overrightarrow{C D}.
(b) Verificar se esses vetores são ortogonais.
(c) Determinar se o vetor \vec{w}=\overrightarrow{D B} forma ângulo agudo com \vec{Z}=\overrightarrow{B C} e justificar.
Passo 2
Como calcular um vetor que vai de um ponto P(x_P,y_P) para um ponto Q(x_Q,y_Q): o vetor \overrightarrow{PQ} tem coordenadas
\overrightarrow{PQ} = (x_Q-x_P,\; y_Q-y_P).
Explicando devagar: subtrai-se coordenada a coordenada porque o vetor representa a “diferença” entre as posições. Vou aplicar essa regra para achar \vec{u}=\overrightarrow{BA}. Aqui P=B e Q=A, então
Como -16 \neq 0, concluímos que \vec{u} e \vec{v} NÃO são ortogonais. Explicando em palavras: o produto escalar diferente de zero significa que o ângulo entre eles não é 90^\circ.
Passo 7
Para a parte (c) primeiro obtenho os vetores pedidos:
\vec{u} = (-1,\;5),\\ \vec{v} = (6,\;-2)
Não — \vec{u}\cdot\vec{v} = -16 \neq 0 (logo não são ortogonais).
Sim — \vec{w}=(-5,\;-1), \vec{Z}=(-1,\;3) e \vec{w}\cdot\vec{Z}=2>0, portanto o ângulo é agudo.