Dados os pontos A(1,3), B(2,-2), C(1,1) e D(7,-1), faça o que se pede:
a) Encontre os vetores \vec{u}=\overrightarrow{B A} e \vec{v}=\overrightarrow{C D}.
b) Verifique se esses vetores são ortogonais.
c) O vetor \vec{w}=\overrightarrow{D B} forma um ângulo agudo com o vetor \vec{Z}=\overrightarrow{B C} ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos no plano e pede três coisas. Vou listar as informações e exatamente o que pedem (sem resolver ainda):
  • Pontos fornecidos:
    • A(1,3)
    • B(2,-2)
    • C(1,1)
    • D(7,-1)
  • Perguntas:
    • (a) Encontrar os vetores \vec{u}=\overrightarrow{B A} e \vec{v}=\overrightarrow{C D}.
    • (b) Verificar se esses vetores são ortogonais.
    • (c) Determinar se o vetor \vec{w}=\overrightarrow{D B} forma ângulo agudo com \vec{Z}=\overrightarrow{B C} e justificar.

Passo 2

Como calcular um vetor que vai de um ponto P(x_P,y_P) para um ponto Q(x_Q,y_Q): o vetor \overrightarrow{PQ} tem coordenadas
\overrightarrow{PQ} = (x_Q-x_P,\; y_Q-y_P).
Explicando devagar: subtrai-se coordenada a coordenada porque o vetor representa a “diferença” entre as posições. Vou aplicar essa regra para achar \vec{u}=\overrightarrow{BA}. Aqui P=B e Q=A, então
\vec{u}=\overrightarrow{BA} = (x_A-x_B,\; y_A-y_B).

Passo 3

Calcular \vec{u}=\overrightarrow{BA} usando as coordenadas dadas:
\vec{u}=\overrightarrow{BA}=(1-2,\; 3-(-2)) = (-1,\; 5).
Comentário: isso significa que, saindo de B e chegando em A, andamos -1 na direção x e +5 na direção y.

Passo 4

Agora calcular \vec{v}=\overrightarrow{CD}. Usando a mesma regra ( P=C, Q=D):
\vec{v}=\overrightarrow{CD}=(x_D-x_C,\; y_D-y_C)=(7-1,\; -1-1)=(6,\; -2).

Passo 5

Para verificar ortogonalidade (parte b) precisamos do produto escalar. Em duas dimensões, para \vec{a}=(a_x,a_y) e \vec{b}=(b_x,b_y),
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x + a_y b_y.
Propriedade chave: dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produto escalar for zero. Vou aplicar isso a \vec{u} e \vec{v}.

Passo 6

Calcular o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v}:
\vec{u}\cdot\vec{v}=(-1)\cdot 6 + 5\cdot(-2) = -6 - 10 = -16.
Como -16 \neq 0, concluímos que \vec{u} e \vec{v} NÃO são ortogonais. Explicando em palavras: o produto escalar diferente de zero significa que o ângulo entre eles não é 90^\circ.

Passo 7

Para a parte (c) primeiro obtenho os vetores pedidos:
  • \vec{w}=\overrightarrow{DB} com P=D, Q=B:
\vec{w}=\overrightarrow{DB}=(x_B-x_D,\; y_B-y_D)=(2-7,\; -2-(-1)) = (-5,\; -1).
  • \vec{Z}=\overrightarrow{BC} com P=B, Q=C:
\vec{Z}=\overrightarrow{BC}=(x_C-x_B,\; y_C-y_B)=(1-2,\; 1-(-2)) = (-1,\; 3).

Passo 8

Critério para saber se o ângulo entre dois vetores é agudo, reto ou obtuso: usando o produto escalar e a relação
\vec{a}\cdot\vec{b} = \lVert \vec{a}\rVert \, \lVert \vec{b}\rVert \cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}. Assim:
  • se \vec{a}\cdot\vec{b} > 0 então \cos\theta>0 e o ângulo é agudo ( \theta<90^\circ);
  • se \vec{a}\cdot\vec{b} = 0 então o ângulo é reto ( \theta=90^\circ);
  • se \vec{a}\cdot\vec{b} < 0 então o ângulo é obtuso ( \theta>90^\circ).
Vou calcular \vec{w}\cdot\vec{Z}.

Passo 9

Calcular o produto escalar \vec{w}\cdot\vec{Z}:
\vec{w}\cdot\vec{Z} = (-5)\cdot(-1) + (-1)\cdot 3 = 5 - 3 = 2.
Como 2>0, temos \cos\theta>0 e portanto o ângulo entre \vec{w} e \vec{Z} é agudo. Se quiser confirmar numericamente o cosseno:
\lVert \vec{w}\rVert = \sqrt{(-5)^2+(-1)^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}, \qquad \lVert \vec{Z}\rVert = \sqrt{(-1)^2+3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10},
\cos\theta = \dfrac{\vec{w}\cdot\vec{Z}}{\lVert \vec{w}\rVert\lVert \vec{Z}\rVert} = \dfrac{2}{\sqrt{26}\sqrt{10}} = \dfrac{2}{\sqrt{260}}=\dfrac{1}{\sqrt{65}}>0,
confirmando que \theta é agudo.

Resposta

\vec{u} = (-1,\;5),\\ \vec{v} = (6,\;-2)
Não — \vec{u}\cdot\vec{v} = -16 \neq 0 (logo não são ortogonais).
Sim — \vec{w}=(-5,\;-1), \vec{Z}=(-1,\;3) e \vec{w}\cdot\vec{Z}=2>0, portanto o ângulo é agudo.

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