Como \vec{u} \cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}| \cos (\theta),|\vec{u}| e |\vec{v}| são valores positivos, se
\vec{u} \cdot \vec{v}=0 \Rightarrow \theta é um ângulo ______ que é a ______ de ortogonalidade.

Passo 1

O enunciado nos dá a fórmula do produto escalar entre dois vetores e algumas condições:
  • Fórmula: \vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos(\theta).
  • Informação: |\vec{u}| e |\vec{v}| são valores positivos (ou seja, |\vec{u}|>0 e |\vec{v}|>0).
  • Situação a analisar: \vec{u}\cdot\vec{v}=0.
    O que o enunciado pede é completar a frase: se \vec{u}\cdot\vec{v}=0\Rightarrow \theta é um ângulo ____ que é a ____ de ortogonalidade. Vou mostrar passo a passo por que tipo de ângulo \theta é e por que isso corresponde a uma condição de ortogonalidade.

Passo 2

Começando da fórmula do produto escalar, substituímos o valor dado:
\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos(\theta)=0.
Aqui temos um produto de três fatores: |\vec{u}|, |\vec{v}| e \cos(\theta). Pelas hipóteses do enunciado sabemos que |\vec{u}|>0 e |\vec{v}|>0.

Passo 3

Se dois fatores não-nulos aparecem num produto que é zero, então o fator restante precisa ser zero. Logo, como |\vec{u}|>0 e |\vec{v}|>0, deve valer
\cos(\theta)=0.
Isto é uma consequência direta da álgebra básica: se a\cdot b\cdot c=0 e a\neq0, b\neq0, então c=0.

Passo 4

Agora resolvemos a equação \cos(\theta)=0 lembrando que o ângulo entre vetores é tomado pelo convênio usual entre 0 e \pi (ou seja, \theta\in[0,\pi]). Nessa faixa, \cos(\theta)=0 ocorre somente em
\theta=\frac{\pi}{2},
que em graus é \theta=90^\circ. Esse ângulo é chamado de ângulo reto.

Passo 5

Explicando o significado geométrico: \theta=\frac{\pi}{2} significa que os vetores formam um ângulo de 90^\circ entre si — isto é, são perpendiculares (ortogonais). Assim, a condição \vec{u}\cdot\vec{v}=0 é a condição (na prática, necessária e suficiente para vetores não nulos) que caracteriza a ortogonalidade.

Resposta

\theta é um ângulo reto que é a condição de ortogonalidade.

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