Como
e
são valores positivos, se
é um ângulo ______ que é a ______ de ortogonalidade.
Passo 1
O enunciado nos dá a fórmula do produto escalar entre dois vetores e algumas condições:
- Fórmula:
. - Informação:
e são valores positivos (ou seja, e ). - Situação a analisar:
.
O que o enunciado pede é completar a frase: seé um ângulo ____ que é a ____ de ortogonalidade. Vou mostrar passo a passo por que tipo de ângulo é e por que isso corresponde a uma condição de ortogonalidade.
Passo 2
Começando da fórmula do produto escalar, substituímos o valor dado:
Aqui temos um produto de três fatores:
,
e
. Pelas hipóteses do enunciado sabemos que
e
.
Passo 3
Se dois fatores não-nulos aparecem num produto que é zero, então o fator restante precisa ser zero. Logo, como
e
, deve valer
Isto é uma consequência direta da álgebra básica: se
e
,
, então
.
Passo 4
Agora resolvemos a equação
lembrando que o ângulo entre vetores é tomado pelo convênio usual entre
e
(ou seja,
). Nessa faixa,
ocorre somente em
que em graus é
. Esse ângulo é chamado de ângulo reto.
Passo 5
Explicando o significado geométrico:
significa que os vetores formam um ângulo de
entre si — isto é, são perpendiculares (ortogonais). Assim, a condição
é a condição (na prática, necessária e suficiente para vetores não nulos) que caracteriza a ortogonalidade.