É possível descrever o movimento do submarino somente com o valor da velocidade? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se é possível descrever o movimento do submarino somente com o valor da velocidade e pede justificativa.
Informações implícitas que vou assumir (porque o enunciado não especifica): só se conhece a magnitude da velocidade do submarino como função do tempo, ou seja v(t)=|\mathbf{v}(t)|. Não foram fornecidos nem a direção da velocidade, nem a posição inicial, nem a trajetória.

Passo 2

Primeiro vamos fixar a linguagem (sem pular etapas):
  • A posição do submarino no espaço é um vetor \mathbf{r}(t). É isso que chamamos de “descrever o movimento”: determinar \mathbf{r}(t) para todos os instantes.
  • A velocidade vetorial é \mathbf{v}(t)=\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}. Ela tem direção e sentido.
  • O que normalmente chamam de “valor da velocidade” pode ser ambíguo; aqui eu uso v(t)=|\mathbf{v}(t)| para indicar a velocidade escalar (o módulo da velocidade), sem informação de direção.
Resumo: saber v(t) significa conhecer apenas a rapidez (magnitude) em cada instante, não o vetor \mathbf{v}(t).

Passo 3

Agora um argumento direto mostrando que só o módulo não basta: construo dois movimentos diferentes com a mesma função v(t). Isso prova que v(t) não identifica \mathbf{r}(t).
Exemplo 1 — movimento retilíneo uniforme: suponha v(t)=v_0 constante. Se o submarino vai em linha reta no eixo x com velocidade v_0,
\mathbf{r}_1(t)=\mathbf{r}_0 + v_0 t\,\hat{\mathbf{i}}.
A aceleração é \mathbf{a}_1(t)=\mathbf{0}.
Exemplo 2 — movimento circular uniforme com mesma rapidez v_0: escolha raio R e \omega=v_0/R. Então
\mathbf{r}_2(t)=R\big(\cos(\omega t),\,\sin(\omega t)\big).
Nessa trajetória a rapidez é também |\mathbf{v}_2(t)|=v_0 para todo t, mas a aceleração é
\mathbf{a}_2(t)=-\frac{v_0^{2}}{R}\,\big(\cos(\omega t),\,\sin(\omega t)\big),
não nula e apontando para o centro.
Conclusão deste passo: as duas trajetórias \mathbf{r}_1(t) e \mathbf{r}_2(t) têm a mesma função v(t)=v_0 mas descrevem movimentos completamente diferentes. Logo, conhecer apenas v(t) não determina \mathbf{r}(t).

Passo 4

Discussão das exceções (quando o valor da velocidade pode ser suficiente):
  1. Movimento unidimensional com sentido conhecido e posição inicial dada.
    Se o submarino obrigatoriamente anda sobre uma reta conhecida e o sentido (positivo/negativo) é conhecido, então a velocidade escalar assinada u(t) (com sinal) satisfaz
x(t)=x(0)+\int_{0}^{t} u(\tau)\,d\tau.
Se o que se tem é apenas v(t)=|u(t)| sem o sinal, ainda falta saber o sentido em cada instante; portanto é ambíguo a não ser que o sentido seja fixo e conhecido.
  1. Trajetória conhecida (curva fixa) e posição inicial conhecida.
    Se se sabe exatamente qual curva no espaço o submarino segue — por exemplo ele está seguindo sempre um cabo submarino fixo — então conhecer a rapidez v(t) permite obter a distância percorrida ao longo da curva:
s(t)=s(0)+\int_{0}^{t} v(\tau)\,d\tau,
e daí \mathbf{r}(t) = posição na curva correspondente ao parâmetro de arco s(t). Ou seja, com a curva conhecida e a condição inicial, v(t) é suficiente.
Fora desses casos “constritos” (reta conhecida ou curva conhecida + condições iniciais), v(t) sozinho não basta.

Passo 5

Outra justificativa física útil (acelerações tangencial e normal): ao decompor a aceleração vetorial temos a identidade
\mathbf{a}=\dot v\,\mathbf{t}+\frac{v^{2}}{\rho}\,\mathbf{n},
onde \mathbf{t} é o versor tangente à trajetória, \mathbf{n} é o versor normal, \dot v=\dfrac{dv}{dt} e \rho é o raio de curvatura da trajetória.
  • O termo \dot v\,\mathbf{t} (aceleração tangencial) vem só da variação do módulo da velocidade e pode ser obtido de v(t).
  • O termo \dfrac{v^{2}}{\rho}\,\mathbf{n} (aceleração normal) depende da curvatura da trajetória — informação de direção que v(t) não fornece.
Isso mostra matematicamente que a informação escalar v(t) não permite calcular, em geral, a aceleração total nem a trajetória, porque falta \rho(t) e a orientação ( \mathbf{t},\mathbf{n}).

Passo 6

Contexto prático para o submarino (i.e., motivação para a resposta): um submarino navega em 3D, muda de rumo e de profundidade; os controladores precisam de heading, atitude e posição, não só da rapidez. Portanto na prática conhecer só o valor da velocidade instantânea é insuficiente para controlar ou prever o movimento.

Passo 7

Resumo final e incentivo: em termos simples — rapidez é só “quão rápido”, não diz “para onde”. Para descrever o movimento precisa-se também da direção/trajectória e da posição inicial. Se estiveres na prova e o enunciado só der v(t), pergunta-se: existe informação sobre trajetória ou sentido? Se não existir, diga que não é suficiente e explique com um exemplo (reta vs círculo) como justificativa — isso pontua muito bem.

Resposta

Não, em geral não. Apenas em casos especiais (movimento unidimensional com sentido conhecido e posição inicial, ou trajetória fixa conhecida com posição inicial) o valor da velocidade v(t)=|\mathbf{v}(t)| basta para reconstruir o movimento; caso contrário falta a informação de direção/curvatura necessária para determinar \mathbf{r}(t).

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