É possível descrever o movimento do submarino somente com o valor da velocidade? Justifique.
Passo 1
O enunciado pergunta se é possível descrever o movimento do submarino somente com o valor da velocidade e pede justificativa.
Informações implícitas que vou assumir (porque o enunciado não especifica): só se conhece a magnitude da velocidade do submarino como função do tempo, ou seja . Não foram fornecidos nem a direção da velocidade, nem a posição inicial, nem a trajetória.
Informações implícitas que vou assumir (porque o enunciado não especifica): só se conhece a magnitude da velocidade do submarino como função do tempo, ou seja
Passo 2
Primeiro vamos fixar a linguagem (sem pular etapas):
- A posição do submarino no espaço é um vetor
. É isso que chamamos de “descrever o movimento”: determinar para todos os instantes. - A velocidade vetorial é
. Ela tem direção e sentido. - O que normalmente chamam de “valor da velocidade” pode ser ambíguo; aqui eu uso
para indicar a velocidade escalar (o módulo da velocidade), sem informação de direção.
Resumo: saber
significa conhecer apenas a rapidez (magnitude) em cada instante, não o vetor
.
Passo 3
Agora um argumento direto mostrando que só o módulo não basta: construo dois movimentos diferentes com a mesma função
. Isso prova que
não identifica
.
Exemplo 1 — movimento retilíneo uniforme: suponha
constante. Se o submarino vai em linha reta no eixo
com velocidade
,
A aceleração é
.
Exemplo 2 — movimento circular uniforme com mesma rapidez
: escolha raio
e
. Então
Nessa trajetória a rapidez é também
para todo
, mas a aceleração é
não nula e apontando para o centro.
Conclusão deste passo: as duas trajetórias
e
têm a mesma função
mas descrevem movimentos completamente diferentes. Logo, conhecer apenas
não determina
.
Passo 4
Discussão das exceções (quando o valor da velocidade pode ser suficiente):
- Movimento unidimensional com sentido conhecido e posição inicial dada.
Se o submarino obrigatoriamente anda sobre uma reta conhecida e o sentido (positivo/negativo) é conhecido, então a velocidade escalar assinada(com sinal) satisfaz
Se o que se tem é apenas
sem o sinal, ainda falta saber o sentido em cada instante; portanto é ambíguo a não ser que o sentido seja fixo e conhecido.
- Trajetória conhecida (curva fixa) e posição inicial conhecida.
Se se sabe exatamente qual curva no espaço o submarino segue — por exemplo ele está seguindo sempre um cabo submarino fixo — então conhecer a rapidezpermite obter a distância percorrida ao longo da curva:
e daí
= posição na curva correspondente ao parâmetro de arco
. Ou seja, com a curva conhecida e a condição inicial,
é suficiente.
Fora desses casos “constritos” (reta conhecida ou curva conhecida + condições iniciais),
sozinho não basta.
Passo 5
Outra justificativa física útil (acelerações tangencial e normal): ao decompor a aceleração vetorial temos a identidade
onde
é o versor tangente à trajetória,
é o versor normal,
e
é o raio de curvatura da trajetória.
- O termo
(aceleração tangencial) vem só da variação do módulo da velocidade e pode ser obtido de . - O termo
(aceleração normal) depende da curvatura da trajetória — informação de direção que não fornece.
Isso mostra matematicamente que a informação escalar
não permite calcular, em geral, a aceleração total nem a trajetória, porque falta
e a orientação (
).
Passo 6
Contexto prático para o submarino (i.e., motivação para a resposta): um submarino navega em 3D, muda de rumo e de profundidade; os controladores precisam de heading, atitude e posição, não só da rapidez. Portanto na prática conhecer só o valor da velocidade instantânea é insuficiente para controlar ou prever o movimento.
Passo 7
Resumo final e incentivo: em termos simples — rapidez é só “quão rápido”, não diz “para onde”. Para descrever o movimento precisa-se também da direção/trajectória e da posição inicial. Se estiveres na prova e o enunciado só der
, pergunta-se: existe informação sobre trajetória ou sentido? Se não existir, diga que não é suficiente e explique com um exemplo (reta vs círculo) como justificativa — isso pontua muito bem.
Resposta
Não, em geral não. Apenas em casos especiais (movimento unidimensional com sentido conhecido e posição inicial, ou trajetória fixa conhecida com posição inicial) o valor da velocidade
basta para reconstruir o movimento; caso contrário falta a informação de direção/curvatura necessária para determinar
.