Dados os pontos A(1,-2,3), B(2,-1,4), C(0,2,0) e D(-1, m, 1) responda:
(a) (1 ponto) Determine o valor de m para que A, B, C, D sejam coplanares.
(b) ( 1 ponto) Determine a equação geral e vetorial do plano que passa por A, B, C.

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos em \mathbb{R}^3: \;A(1,-2,3),\;B(2,-1,4),\;C(0,2,0) e \;D(-1,m,1).
Conteúdos usados:
  1. Para a coplanaridade de quatro pontos, o produto misto (ou triplo escalar) de três vetores formados deve ser zero.
  2. Para achar a equação do plano por A,B,C, vamos obter dois vetores do plano, calcular o vetor normal via produto vetorial e usar a forma n\cdot(x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0.

Passo 2

Calcule os vetores \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} e \overrightarrow{AD}:
\overrightarrow{AB}=B-A=(2-1,\,-1-(-2),\,4-3)=(1,1,1),
\overrightarrow{AC}=C-A=(0-1,\,2-(-2),\,0-3)=(-1,4,-3),
\overrightarrow{AD}=D-A=(-1-1,\;m-(-2),\;1-3)=(-2,\;m+2,\;-2).

Passo 3

Escrevemos a condição de coplanaridade:
[\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC},\,\overrightarrow{AD}] =\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ -1 & 4 & -3\\\\ -2 & m+2 & -2 \end{pmatrix} =0.

Passo 4

Calcule o determinante:
\begin{aligned} \det&= 1\cdot\bigl(4\cdot(-2)-(-3)(m+2)\bigr) -1\cdot\bigl((-1)(-2)-(-3)(-2)\bigr)\\\ &\quad+1\cdot\bigl((-1)(m+2)-4(-2)\bigr)\\\ &=(3m-2)+4+(-m+6)=2m+8. \end{aligned}
Logo 2m+8=0 implica
m=-4.

Passo 5

Para a equação do plano ABC, primeiro achamos um vetor normal \vec n usando
\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}.
Fazendo o produto vetorial, obtemos
\vec n=(-7,\,2,\,5).

Passo 6

A forma geral do plano que passa por A(1,-2,3) é
\vec n\cdot\bigl((x,y,z)-(1,-2,3)\bigr)=0.
Isto é,
-7(x-1)+2(y+2)+5(z-3)=0 \;\Longrightarrow\; 7x-2y-5z+4=0.

Passo 7

A equação vetorial (paramétrica) do mesmo plano usa dois parâmetros s,t em função de \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}:
\vec r =(x,y,z) =(1,-2,3)+s\,(1,1,1)+t\,(-1,4,-3), \quad s,t\in\mathbb{R}.

Resposta

(a) m=-4.
(b)
Equação geral do plano ABC:
7x-2y-5z+4=0.
Equação vetorial do plano ABC:
\vec r=(1,-2,3)+s\,(1,1,1)+t\,(-1,4,-3),\quad s,t\in\mathbb{R}.

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