Dado o ponto P(5,2,3) e o plano \pi: x+y+z=2, determinar:
(a) (1 ponto) Encontre a equação da reta perpendicular a \pi e que passa por P.
(b) (1 ponto) A projeção ortogonal de P sobre o plano \pi.
(c) (0,5 ponto) Determine a distância de P ao plano \pi.

Passo 1

O enunciado dá o ponto P(5,2,3) e o plano \pi\colon x+y+z=2. Precisamos encontrar: (a) a reta perpendicular a \pi que passa por P; (b) a projeção ortogonal de P em \pi; (c) a distância de P a \pi. Para isso, vamos usar a normal do plano \pi, a fórmula paramétrica de reta e as fórmulas de projeção e distância de ponto a plano.

Passo 2

A normal do plano \pi é \mathbf{n}=(1,1,1). A reta perpendicular a \pi e passando por P tem direção \mathbf{n} e passa por P. Logo, sua forma paramétrica é
\ell\colon (x,y,z)=(5,2,3)+t\,(1,1,1),\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Para projetar P em \pi, usamos a fórmula
P_{\mathrm{proj}} = P - \frac{a x_0+b y_0+c z_0 - d}{a^2+b^2+c^2}\,\mathbf{n},
onde a=b=c=1, d=2 e (x_0,y_0,z_0)=(5,2,3). Calculamos o numerador
1\cdot5+1\cdot2+1\cdot3-2=8
e o denominador 1^2+1^2+1^2=3. Assim
P_{\mathrm{proj}}=\Bigl(5,2,3\Bigr)-\frac{8}{3}(1,1,1)=\Bigl(\tfrac{7}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\Bigr).

Passo 4

A distância de P ao plano \pi é dada por
\mathrm{dist}=\frac{|a x_0+b y_0+c z_0-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{|8|}{\sqrt{3}}=\frac{8}{\sqrt{3}}.

Resposta

(a) \ell\colon(x,y,z)=(5,2,3)+t\,(1,1,1), ou \frac{x-5}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{1}.
(b) P_{\mathrm{proj}}=\bigl(\tfrac{7}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\bigr).
(c) \mathrm{dist}(P,\pi)=\tfrac{8}{\sqrt{3}}.

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