Considerando as retas abaixo determine:
r=\left\{\begin{array}{l} \frac{y-3}{2}=\frac{z+1}{-2} \\\ x=2 \end{array} \quad s=\left\{\begin{array}{l} y=2 x \\\ z=\frac{x}{2}-3 \end{array}\right.\right.
(a) ( 0.5 ponto) O ângulo entre r e s.
(b) (1 ponto) O ponto de interseção entre r e s.
(c) (1,5 ponto ) A equação simétrica da reta que é ortogonal a r e s, que passa pelo ponto P(1,1,1).

Passo 1

O enunciado nos dá as retas
r:\;\frac{y-3}{2}=\frac{z+1}{-2},\;x=2
e
s:\;y=2x,\;z=\frac{x}{2}-3,
e pede:
(a) o ângulo entre r e s;
(b) o ponto de interseção;
(c) a equação simétrica da reta ortogonal a ambas que passa por P(1,1,1).
Vamos usar representação paramétrica, vetores diretores, produto escalar e produto vetorial.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores. Para r, escrevemos
x=2,\quad y=3+2t,\quad z=-1-2t,
logo \mathbf{v}_r=(0,2,-2). Para s, tomamos x=u, de onde
y=2u,\quad z=\tfrac{u}{2}-3,
logo \mathbf{v}_s=(1,2,\tfrac12).
O cosseno do ângulo \theta entre elas vem de
\cos\theta =\frac{\mathbf{v}_r\cdot\mathbf{v}_s}{\|\mathbf{v}_r\|\;\|\mathbf{v}_s\|} =\frac{0\cdot1+2\cdot2+(-2)\cdot\tfrac12}{\sqrt{0^2+2^2+(-2)^2}\,\sqrt{1^2+2^2+(\tfrac12)^2}} =\frac{4-1}{\sqrt{8}\,\sqrt{5{,}25}} =\frac{3}{\sqrt{42}}.
Portanto
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{3}{\sqrt{42}}\bigr).

Passo 3

Para a interseção igualamos x_r=2 a x_s=u, obtendo u=2.
Então
y_s=2\cdot2=4,\quad z_s=\tfrac{2}{2}-3=-2.
Em r isso corresponde a t=\tfrac12, que também dá y_r=4 e z_r=-2.
Logo o ponto de interseção é
(2,4,-2).

Passo 4

A reta ortogonal a r e s tem vetor diretor dado pelo produto vetorial
\mathbf{v}_r\times\mathbf{v}_s =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 0&2&-2\\\\ 1&2&\tfrac12 \end{vmatrix} =(5,-2,-2).

Passo 5

Como essa reta passa por P(1,1,1) e tem direção (5,-2,-2), sua equação simétrica é
\frac{x-1}{5} \;=\;\frac{y-1}{-2}\;=\;\frac{z-1}{-2}.

Resposta

(a) \displaystyle \theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{3}{\sqrt{42}}\bigr)
(b) (2,4,-2)
(c) \displaystyle \frac{x-1}{5} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-1}{-2}.

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