Dados os pontos A(1,-1,0), B(-1,0,2), C(4,3,-1) e D(0,-5,2), responda:
(a) Os pontos A, B, C, D são coplanares? ( 0.5 ponto)
(b) Qual volume do paralelepípedo formado pelos vetores \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A D}. (1 ponto)
(c) A equação simétrica da reta que passa por C, D. (1 ponto)

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos em \mathbb{R}^3:
A(1,-1,0),\quad B(-1,0,2),\quad C(4,3,-1),\quad D(0,-5,2).
Precisamos:
  1. Testar se são coplanares (produto misto igual a zero).
  2. Calcular o volume do paralelepípedo gerado por \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} (valor absoluto do produto misto).
  3. Determinar a equação simétrica da reta que passa por C e D.

Passo 2

Calculemos os vetores:
\overrightarrow{AB}=B-A=(-1-1,\;0-(-1),\;2-0)=(-2,1,2),
\overrightarrow{AC}=C-A=(4-1,\;3-(-1),\;-1-0)=(3,4,-1),
\overrightarrow{AD}=D-A=(0-1,\;-5-(-1),\;2-0)=(-1,-4,2).
O produto misto é
\overrightarrow{AB}\cdot\bigl(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}\bigr).
Primeiro,
\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 3&4&-1\\\\ -1&-4&2 \end{vmatrix} =(4\cdot2-(-1)\cdot(-4),\,-(3\cdot2-(-1)\cdot(-1)),\,3\cdot(-4)-4\cdot(-1)) =(4,-5,-8).
Em seguida,
(-2,1,2)\cdot(4,-5,-8) =-2\cdot4+1\cdot(-5)+2\cdot(-8)=-8-5-16=-29.

Passo 3

Como o produto misto vale -29\neq0, os pontos não são coplanares.

Passo 4

O volume do paralelepípedo é o valor absoluto do produto misto:
V=\bigl|\,-29\bigr|=29.

Passo 5

Para a reta que passa por C e D, o vetor diretor é
\overrightarrow{CD}=D-C=(0-4,\,-5-3,\;2-(-1))=(-4,-8,3).
A forma simétrica é
\frac{x-4}{-4}=\frac{y-3}{-8}=\frac{z+1}{3}.

Resposta

(a) Não são coplanares.
(b) 29.
(c) \displaystyle \frac{x-4}{-4}=\frac{y-3}{-8}=\frac{z+1}{3}.

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