Dados os pontos A(1,-1,2), B(0,1,1) e C(2,1,-1), determine a área do triângulo A B C. Encontre também a equação do plano que passa/contém esses pontos

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(1,-1,2), B(0,1,1) e C(2,1,-1). Precisamos encontrar a área do triângulo ABC e a equação do plano que contém esses pontos. Para isso, vamos usar vetores: o produto vetorial nos dá a área e um vetor normal ao plano, e a forma ponto-normal fornece a equação do plano.

Passo 2

Calcular os vetores AB e AC:
AB = B - A = (0-1,;1-(-1),;1-2) = (-1,;2,;-1),
AC = C - A = (2-1,;1-(-1),;-1-2) = (1,;2,;-3)

Passo 3

Obter o produto vetorial ABtimesAC. As componentes são
c1 = 2cdot(-3) - (-1)cdot2 = -6 - (-2) = -4,
c2 = (-1)cdot1 - (-1)cdot(-3) = -1 - 3 = -4,
c3 = (-1)cdot2 - 2cdot1 = -2 - 2 = -4
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ABtimesAC = (-4,,-4,,-4)

Passo 4

A área do triângulo é metade da magnitude do produto vetorial:
l|ABtimesACr| = raiz(-4)^2+(-4)^2+(-4)^2 = raiz48 = 4raiz3,
então
Área = 12,4raiz3 = 2raiz3 Á

Passo 5

Um vetor normal ao plano é paralelo a (-4,-4,-4), por exemplo (1,1,1). A forma ponto-normal usando o ponto A(1,-1,2) é
(1,1,1)cdotl((x,y,z)-(1,-1,2)r)=0,
isto é
(x-1)+(y+1)+(z-2)=0 Longrightarrow x+y+z=2

Resposta

A área do triângulo ABC é 2raiz3.
A equação do plano que contém A, B e C é
x + y + z = 2

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