Mostre que se F é um campo vetorial conservativo e
g(x, y, z)=integral(0,0,0)^(x, y, z) F cdot d r

Passo 1

O enunciado diz que F é um campo vetorial conservativo e define
g(x,y,z)=integral(0,0,0)^(x,y,z)Fcdot dvec r
Precisamos mostrar que
nabla g(x,y,z)=F(x,y,z)
O conteúdo principal é que campos conservativos têm função potencial cujo gradiente recupera o campo.

Passo 2

Como F é conservativo, a integral de linha entre dois pontos independe do caminho escolhido. Isso garante que g está bem definida (não há ambiguidade de caminho).

Passo 3

Para obter partial g/partial x, fixamos y,z e consideramos um pequeno incremento De<a x. Pela definição,
g(x+De<a x,y,z)-g(x,y,z) =integral(x,y,z)^(x+De<a x,y,z)Fcdot dvec r
Escolhendo o caminho retilíneo paralelo ao eixo x, temos dvec r=(dt,0,0) e
integral(x,y,z)^(x+De<a x,y,z)Fcdot dvec r =integralx^x+De<a xF1(t,y,z),dt,
onde F1 é a primeira componente de F. Assim
g(x+De<a x,y,z)-g(x,y,z)De<a x =1De<a xintegralx^x+De<a xF1(t,y,z),dt
e, fazendo De<a xto0 pelo teorema fundamental do cálculo,
partial gpartial x(x,y,z)=F1(x,y,z)

Passo 4

De modo análogo, para partial g/partial y fixamos x,z e usamos o caminho paralelo ao eixo y, obtendo
partial gpartial y(x,y,z)=F2(x,y,z),
onde F2 é a segunda componente de F.

Passo 5

Igualmente, para partial g/partial z fixamos x,y e seguimos paralelo ao eixo z, resultando em
partial gpartial z(x,y,z)=F3(x,y,z),
onde F3 é a terceira componente de F.

Passo 6

Reunindo as três derivadas parciais, temos
nabla g(x,y,z) =l(partialx g,partialy g,partialz gr) =l(F1,F2,F3r) =F(x,y,z)

Resposta

Mostramos que nabla g=F, ou seja, g é uma função potencial de F.

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