Mostre que se
é um campo vetorial conservativo e
Passo 1
O enunciado diz que
é um campo vetorial conservativo e define
Precisamos mostrar que
O conteúdo principal é que campos conservativos têm função potencial cujo gradiente recupera o campo.
Passo 2
Como
é conservativo, a integral de linha entre dois pontos independe do caminho escolhido. Isso garante que
está bem definida (não há ambiguidade de caminho).
Passo 3
Para obter
, fixamos
e consideramos um pequeno incremento
. Pela definição,
Escolhendo o caminho retilíneo paralelo ao eixo
, temos
e
onde
é a primeira componente de
. Assim
e, fazendo
pelo teorema fundamental do cálculo,
Passo 4
De modo análogo, para
fixamos
e usamos o caminho paralelo ao eixo
, obtendo
onde
é a segunda componente de
.
Passo 5
Igualmente, para
fixamos
e seguimos paralelo ao eixo
, resultando em
onde
é a terceira componente de
.
Passo 6
Reunindo as três derivadas parciais, temos
Resposta
Mostramos que
, ou seja,
é uma função potencial de
.