Seja V um espaço vetorial sobre \mathbb{R} com produto interno e u_{1}, u_{2}, v_{1}, v_{2} \in V. Expanda as expressões dadas.
\left\langle 3 u_{1}+5 u_{2}, 4 v_{1}-6 v_{2}\right\rangle

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver (expandir e simplificar) a expressão \left\langle 3u_{1}+5u_{2},\,4v_{1}-6v_{2}\right\rangle.
Dados fornecidos: V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R} com produto interno e u_{1},u_{2},v_{1},v_{2}\in V.
Objetivo: escrever a expressão como soma de produtos escalares elementares do tipo \langle u_i,v_j\rangle multiplicados por constantes reais.

Passo 2

Conceitos que vou usar (explicação didática):
  • O produto interno em um espaço vetorial real é bilinear, isto é, é linear em cada argumento. Isso significa duas propriedades úteis: \langle a x + b y, z\rangle = a\langle x,z\rangle + b\langle y,z\ranglee \langle x, c u + d v\rangle = c\langle x,u\rangle + d\langle x,v\rangle,onde a,b,c,d\in\mathbb{R} e x,y,z,u,v\in V.
  • Além disso, é possível “fazer sair” escalares de qualquer argumento: \langle \alpha x, y\rangle = \alpha\langle x,y\ranglee \langle x, \beta y\rangle = \beta\langle x,y\rangle,para \alpha,\beta\in\mathbb{R}.
    Explicando em palavras: ao expandir um produto interno com somas e constantes, distribui-se o produto interno sobre as somas e as constantes multiplicam os resultados.

Passo 3

Aplicando linearidade no primeiro argumento para separar 3u_{1}+5u_{2}:
\left\langle 3u_{1}+5u_{2},\,4v_{1}-6v_{2}\right\rangle =3\left\langle u_{1},\,4v_{1}-6v_{2}\right\rangle +5\left\langle u_{2},\,4v_{1}-6v_{2}\right\rangle.

Passo 4

Agora aplico linearidade no segundo argumento dentro de cada termo:
\left\langle u_{1},\,4v_{1}-6v_{2}\right\rangle =4\left\langle u_{1},v_{1}\right\rangle-6\left\langle u_{1},v_{2}\right\rangle,
\left\langle u_{2},\,4v_{1}-6v_{2}\right\rangle =4\left\langle u_{2},v_{1}\right\rangle-6\left\langle u_{2},v_{2}\right\rangle.

Passo 5

Substituindo essas expressões em (3) e multiplicando as constantes:
\begin{aligned} \left\langle 3u_{1}+5u_{2},\,4v_{1}-6v_{2}\right\rangle &=3\bigl(4\langle u_{1},v_{1}\rangle-6\langle u_{1},v_{2}\rangle\bigr) +5\bigl(4\langle u_{2},v_{1}\rangle-6\langle u_{2},v_{2}\rangle\bigr)\\[4pt] &=12\langle u_{1},v_{1}\rangle-18\langle u_{1},v_{2}\rangle +20\langle u_{2},v_{1}\rangle-30\langle u_{2},v_{2}\rangle. \end{aligned}]

Resposta

\;12\langle u_{1},v_{1}\rangle-18\langle u_{1},v_{2}\rangle+20\langle u_{2},v_{1}\rangle-30\langle u_{2},v_{2}\rangle

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