Seja
um espaço vetorial sobre
com produto interno e
. Expanda as expressões dadas.
Passo 1
O enunciado pede para desenvolver (expandir e simplificar) a expressão
.
Dados fornecidos: é um espaço vetorial sobre
com produto interno e
.
Objetivo: escrever a expressão como soma de produtos escalares elementares do tipo multiplicados por constantes reais.
Dados fornecidos:
Objetivo: escrever a expressão como soma de produtos escalares elementares do tipo
Passo 2
Conceitos que vou usar (explicação didática):
- O produto interno em um espaço vetorial real é bilinear, isto é, é linear em cada argumento. Isso significa duas propriedades úteis:
e onde e . - Além disso, é possível “fazer sair” escalares de qualquer argumento:
e para .
Explicando em palavras: ao expandir um produto interno com somas e constantes, distribui-se o produto interno sobre as somas e as constantes multiplicam os resultados.
Passo 3
Aplicando linearidade no primeiro argumento para separar
:
Passo 4
Agora aplico linearidade no segundo argumento dentro de cada termo:
Passo 5
Substituindo essas expressões em (3) e multiplicando as constantes: