Dados os pontos A=(-3,2) e B=(5,4) :
Calcule a distância de A até B.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A = (-3,2) e B = (5,4) e pede para calcular a distância de A até B.
Informações relevantes fornecidas:
  • Coordenadas de A: x_A = -3, y_A = 2.
  • Coordenadas de B: x_B = 5, y_B = 4.
    A pergunta é única: qual é a distância entre os pontos A e B?

Passo 2

Ideia geométrica por trás do cálculo (explicação didática): a distância entre dois pontos no plano é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são as diferenças entre as coordenadas x e y. Pelo Teorema de Pitágoras, se um triângulo tem catetos de comprimentos a e b, a hipotenusa c satisfaz c^2 = a^2 + b^2. Aqui vamos aplicar isso com:
  • a = diferença nas abscissas (coord. x),
  • b = diferença nas ordenadas (coord. y),
  • c = distância desejada entre A e B.

Passo 3

Fórmula da distância (fórmula que resulta do passo anterior e que será usada):
d(A,B)=\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2},
onde x_A,y_A são as coordenadas de A e x_B,y_B são as coordenadas de B.
Explicando as variáveis: x_B-x_A é quanto se desloca no eixo x para ir de A a B; y_B-y_A é quanto se desloca no eixo y.

Passo 4

Calcular as diferenças nas coordenadas usando os valores fornecidos:
x_B - x_A = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8,
y_B - y_A = 4 - 2 = 2.
Observação: mesmo que uma diferença pudesse ser negativa, ao elevar ao quadrado o sinal não importa, por isso podemos usar diretamente esses valores.

Passo 5

Substituir as diferenças na fórmula e calcular os quadrados e a soma:
d(A,B)=\sqrt{8^2 + 2^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68}.

Passo 6

Simplificar \sqrt{68}. Note que 68 = 4\cdot17 e \sqrt{4} = 2, então
\sqrt{68} = \sqrt{4\cdot17} = 2\sqrt{17}.
Assim a distância fica numa forma simplificada que é prática de apresentar.

Resposta

2\sqrt{17}

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