Sabendo que |u|=\sqrt{2},|v|=\sqrt{3} e que u e v formam ângulo de \frac{3 \pi}{4}, determinar:
|(2 u-v) \cdot(u-2 v)|;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • |u|=\sqrt{2}.
  • |v|=\sqrt{3}.
  • O ângulo entre u e v é \displaystyle \frac{3\pi}{4}.
O que se pede:
  • Determinar \big|(2u-v)\cdot(u-2v)\big|.

Passo 2

Vamos primeiro expandir o produto escalar usando a linearidade do produto escalar (distributividade em cada argumento). Calcula-se diretamente:
(2u-v)\cdot(u-2v) =2u\cdot u + 2u\cdot(-2v) + (-v)\cdot u + (-v)\cdot(-2v).
Agora agrupando:
(2u-v)\cdot(u-2v)=2(u\cdot u)-4(u\cdot v)- (v\cdot u)+2(v\cdot v).

Passo 3

Usamos propriedades básicas do produto escalar:
  • u\cdot u=|u|^{2}.
  • v\cdot v=|v|^{2}.
  • u\cdot v=v\cdot u (simetria).
    Substituindo na expressão do passo anterior obtemos
(2u-v)\cdot(u-2v)=2|u|^{2}-5(u\cdot v)+2|v|^{2}.
Também é importante lembrar que o produto escalar entre u e v pode ser escrito por meio do ângulo entre eles:
u\cdot v = |u|\,|v|\,\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre u e v.

Passo 4

Agora calculamos u\cdot v usando \theta=\dfrac{3\pi}{4}. Então
u\cdot v = |u|\,|v|\,\cos\!\left(\frac{3\pi}{4}\right).
Substituindo |u|=\sqrt{2} e |v|=\sqrt{3}:
u\cdot v = \sqrt{2}\,\sqrt{3}\,\cos\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\sqrt{6}\cos\!\left(\frac{3\pi}{4}\right).
Sabendo que \cos\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, temos
u\cdot v = \sqrt{6}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{\sqrt{12}}{2}.
Como \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}, segue
u\cdot v = -\frac{2\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}.

Passo 5

Substituímos |u|^{2}, |v|^{2} e u\cdot v na expressão do passo 3:
(2u-v)\cdot(u-2v)=2|u|^{2}-5(u\cdot v)+2|v|^{2}.
Calculando termo a termo:
2|u|^{2}=2(\sqrt{2})^{2}=2\cdot 2=4,
2|v|^{2}=2(\sqrt{3})^{2}=2\cdot 3=6,
-5(u\cdot v)=-5(-\sqrt{3})=5\sqrt{3}.
Somando:
(2u-v)\cdot(u-2v)=4+6+5\sqrt{3}=10+5\sqrt{3}.
Como 10+5\sqrt{3}>0, o valor absoluto é o próprio número:
\big|(2u-v)\cdot(u-2v)\big|=10+5\sqrt{3}.

Passo 6

Resumo final e uma palavra amiga: deu um trabalhinho com radicais, mas seguindo passo a passo a conta cai direitinho. Força — se precisar eu repito mais devagar ou com outro exemplo parecido!

Resposta

10+5\sqrt{3}

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