Dados os pontos A=(-3,2) e B=(5,4) :
Ache o ponto em \overrightarrow{A B} cuja coordenada x é igual a 2 .

Passo 1

O enunciado dá dois pontos no plano: A=(-3,2) e B=(5,4).
A pergunta é: encontrar o ponto que pertence a \overrightarrow{AB} e cuja coordenada x vale 2.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Coordenadas do ponto A: x_A=-3, y_A=2.
  • Coordenadas do ponto B: x_B=5, y_B=4.
  • O conjunto \overrightarrow{AB} representa os pontos no sentido do vetor que vai de A para B. Vamos usar essa ideia para escrever uma representação paramétrica dos pontos que estão sobre essa direção.

Passo 2

Calcular o vetor \overrightarrow{AB}. Esse vetor é dado pela diferença entre as coordenadas de B e A:
\overrightarrow{AB}=B-A=(x_B-x_A,\;y_B-y_A).
Substituindo os valores:
\overrightarrow{AB}=(5-(-3),\;4-2)=(8,\;2).
Interpretação prática: mover-se de A para B aumenta x em 8 unidades e aumenta y em 2 unidades.

Passo 3

Escrever a forma paramétrica dos pontos da reta/ray na direção \overrightarrow{AB} partindo de A. Um ponto genérico P nessa direção pode ser escrito como
P(t)=A+t\,\overrightarrow{AB},
onde t é um parâmetro real. Em coordenadas:
P(t)=\big(x(t),y(t)\big)=\big(x_A+t(x_B-x_A),\;y_A+t(y_B-y_A)\big).
Substituindo x_A,y_A,x_B-x_A,y_B-y_A:
x(t)=-3+8t,\qquad y(t)=2+2t.
Observação sobre o parâmetro t: para a semi-reta \overrightarrow{AB} (começando em A e indo na direção de B) temos t\ge 0. Para a reta inteira teríamos t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Usar a condição dada: queremos o ponto em \overrightarrow{AB} cuja coordenada x é 2. Então impomos
x(t)=-3+8t=2.
Resolver essa equação para t:
8t=2-(-3)=5\quad\Rightarrow\quad t=\dfrac{5}{8}.

Passo 5

Verificar que o valor encontrado de t corresponde à semi-reta: t=\dfrac{5}{8}\ge 0, logo o ponto está realmente em \overrightarrow{AB}.

Passo 6

Calcular a coordenada y correspondente ao mesmo parâmetro t. Usando y(t)=2+2t:
y\Big(\tfrac{5}{8}\Big)=2+2\cdot\dfrac{5}{8}=2+\dfrac{10}{8}=2+\dfrac{5}{4}= \dfrac{8}{4}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{13}{4}.

Passo 7

Checagem alternativa (opcional, só para entender outra maneira): a inclinação da reta que passa por A e B é
m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}.
Usando a forma ponto-inclinação com o ponto A: y-2=\tfrac{1}{4}(x-(-3)). Para x=2 tem-se y-2=\tfrac{1}{4}\cdot5=\tfrac{5}{4}, logo y=2+\tfrac{5}{4}=\tfrac{13}{4}, que confirma o cálculo anterior.

Resposta

\bigl(2,\tfrac{13}{4}\bigr)

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