Encontrar o vértice oposto a B_{\text {, no paralelogramo } A B C D \text {, para: }}
A=(-2,3,6), B=(-8,4,4) e C=(-2,5,9)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo A B C D. Foram fornecidos os pontos:
  • A = (-2,3,6)
  • B = (-8,4,4)
  • C = (-2,5,9)
Ou seja, precisamos determinar o ponto D tal que ABCD seja um paralelogramo e D seja o vértice oposto a B.

Passo 2

Ideia e fórmula útil (explicadas passo a passo). Em um paralelogramo, as diagonais se cruzam no mesmo ponto médio. Isso significa que o ponto médio de \overline{AC} é igual ao ponto médio de \overline{BD}. Vamos usar a fórmula do ponto médio em coordenadas cartesianas.
A fórmula do ponto médio entre dois pontos P_1=(x_1,y_1,z_1) e P_2=(x_2,y_2,z_2) é
\text{médio}(P_1,P_2)=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2},\dfrac{z_1+z_2}{2}\right).é
Se igualarmos os pontos médios de AC e BD obtemos
\left(\dfrac{A_x+C_x}{2},\dfrac{A_y+C_y}{2},\dfrac{A_z+C_z}{2}\right) = \left(\dfrac{B_x+D_x}{2},\dfrac{B_y+D_y}{2},\dfrac{B_z+D_z}{2}\right).
Multiplicando ambos os lados por 2 e isolando D chegamos à fórmula direta
D = A + C - B,
onde a soma e subtração são feitas componente a componente. Vou aplicar essa fórmula.

Passo 3

Calcular A + C componente a componente:
A+C = (-2,3,6) + (-2,5,9).
Somando coordenadas:
A+C = (-2+(-2),\;3+5,\;6+9) = (-4,8,15).

Passo 4

Agora calcular D = A + C - B. Subtrair as coordenadas de B = (-8,4,4) de A+C = (-4,8,15):
D = (-4,8,15) - (-8,4,4).
Subtração componente a componente:
D = (-4 - (-8),\;8-4,\;15-4) = (-4+8,\;4,\;11) = (4,4,11).

Passo 5

Verificação rápida (para ganhar confiança): em um paralelogramo, \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}. Calcular \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{DC}:
\overrightarrow{AB}=B-A = (-8,4,4)-(-2,3,6)=(-8+2,\;4-3,\;4-6)=(-6,1,-2),
\overrightarrow{DC}=C-D = (-2,5,9)-(4,4,11)=(-2-4,\;5-4,\;9-11)=(-6,1,-2).
Como \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}, o ponto D=(4,4,11) está consistente com a condição de paralelogramo.

Resposta

(4,4,11)

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