Encontrar o vértice oposto a B_{\text {, no paralelogramo } A B C D \text {, para: }} A=(-2,3,6), B=(-8,4,4) e C=(-2,5,9)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo A B C D. Foram fornecidos os pontos:
A = (-2,3,6)
B = (-8,4,4)
C = (-2,5,9)
Ou seja, precisamos determinar o ponto D tal que ABCD seja um paralelogramo e D seja o vértice oposto a B.
Passo 2
Ideia e fórmula útil (explicadas passo a passo). Em um paralelogramo, as diagonais se cruzam no mesmo ponto médio. Isso significa que o ponto médio de \overline{AC} é igual ao ponto médio de \overline{BD}. Vamos usar a fórmula do ponto médio em coordenadas cartesianas.
A fórmula do ponto médio entre dois pontos P_1=(x_1,y_1,z_1) e P_2=(x_2,y_2,z_2) é
Multiplicando ambos os lados por 2 e isolando D chegamos à fórmula direta
D = A + C - B,
onde a soma e subtração são feitas componente a componente. Vou aplicar essa fórmula.
Passo 3
Calcular A + C componente a componente:
A+C = (-2,3,6) + (-2,5,9).
Somando coordenadas:
A+C = (-2+(-2),\;3+5,\;6+9) = (-4,8,15).
Passo 4
Agora calcular D = A + C - B. Subtrair as coordenadas de B = (-8,4,4) de A+C = (-4,8,15):
D = (-4,8,15) - (-8,4,4).
Subtração componente a componente:
D = (-4 - (-8),\;8-4,\;15-4) = (-4+8,\;4,\;11) = (4,4,11).
Passo 5
Verificação rápida (para ganhar confiança): em um paralelogramo, \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}. Calcular \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{DC}: