Dados os pontos A(2,3) e B(8,5), determine a equação da reta que passa pelos pontos A e $\mathrm{B} .

Passo 1

O enunciado dá dois pontos no plano e pede a equação da reta que passa por eles. Informação fornecida:
  • Ponto A tem coordenadas A(2,3).
  • Ponto B tem coordenadas B(8,5).
O que se pede:
  • Determinar a equação da reta que passa por A e B.

Passo 2

Entendendo o que precisamos: para achar a equação de uma reta no plano normalmente calculamos a inclinação (coeficiente angular) \,m e depois usamos uma fórmula que liga m e um ponto conhecido para obter a equação.
A fórmula para a inclinação entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aqui m representa o “rise over run” (diferença de y sobre diferença de x): quanto a reta sobe (ou desce) quando x aumenta de uma unidade. Essa fórmula vem direto da definição de declive da reta entre dois pontos.

Passo 3

Aplicando a fórmula da inclinação aos pontos dados:
m=\frac{5-3}{8-2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
Portanto a reta tem inclinação \,m=\dfrac{1}{3}.

Passo 4

Usamos agora a forma ponto-declive da equação da reta, que é
y-y_1=m(x-x_1),
onde (x_1,y_1) é um ponto conhecido na reta e m é a inclinação. Vou usar o ponto A(2,3). Substituindo:
y-3=\frac{1}{3}(x-2).

Passo 5

Transformando para a forma explícita (pendente-intercepto) y=mx+b:
Primeiro expandir o lado direito:
y-3=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}.
Somando 3 em ambos os lados:
y=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}+3.
Como 3=\dfrac{9}{3}, temos
y=\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}.

Passo 6

Também podemos escrever a mesma reta na forma geral (forma padrão) multiplicando por 3 para eliminar denominadores:
3y=x+7.
Rearranjando para obter os termos do lado esquerdo:
x-3y+7=0.
Verificação rápida: substituindo A(2,3) em x-3y+7 2-9+7=0; substituindo B(8,5) 8-15+7=0. Ambos satisfeitos, então a equação está correta.

Passo 7

Dica rápida para a prova: calcule a inclinação com cuidado e use a forma ponto-declive y-y_1=m(x-x_1) com qualquer dos dois pontos; depois simplifique para a forma que preferir (pendente-intercepto ou geral). Se x_1=x_2 a reta é vertical e a equação é x= constante; se y_1=y_2 a reta é horizontal e a equação é y= constante. Você chegou até aqui — mandou bem!

Resposta

y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{7}{3}
x-3y+7=0

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