Uma função de custo de produção é dada por:
C(x)= \begin{cases}10 x, & \text { se } 0 \leq x \leq 50 \\\\ 8 x+100, & \text { se } x>50\end{cases}
Onde x é a quantidade de unidades produzidas. Esta função é contínua no ponto de transição x=50 ?

Passo 1

O enunciado fornece a função custo por partes:
C(x)= \begin{cases}10 x, & \text{se } 0 \leq x \leq 50,\\[4pt] 8 x+100, & \text{se } x>50,\end{cases}
onde x é a quantidade produzida. A pergunta é: a função é contínua no ponto de transição x=50 ?
Passo 1 — resumo das informações dadas:
  • Para 0 \leq x \leq 50 vale C(x)=10x.
  • Para x>50 vale C(x)=8x+100.
  • Deve-se verificar continuidade em x=50.]

Passo 2

Definição prática de continuidade num ponto (coisa que cai bem na prova): uma função f é contínua em x=a se e somente se os três valores abaixo existirem e forem iguais:
\lim_{x\to a^-} f(x),\qquad \lim_{x\to a^+} f(x),\qquad f(a).
Isto significa que o valor da função em a coincide com o limite quando nos aproximamos de a tanto pela esquerda quanto pela direita. Para funções definidas por partes, o procedimento padrão é calcular os dois limites laterais e o valor da função em a e comparar.

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda em x=50. Pela definição da função, para x aproximando-se de 50 pela esquerda usamos a regra C(x)=10x. Como 10x é uma função linear (portanto contínua em todo lugar), o limite é dado pela substituição direta:
\lim_{x\to50^-} C(x)=\lim_{x\to50^-} 10x = 10\cdot 50 = 500.
Explicando devagar: quando a expressão do ramo esquerdo é uma expressão simples (polinomial, linear, etc.), o limite ao ponto é só calcular essa expressão no ponto.

Passo 4

Calcular o limite pela direita em x=50. Para x aproximando-se de 50 pela direita usamos a regra C(x)=8x+100. Novamente é uma função linear, logo a substituição direta funciona:
\lim_{x\to50^+} C(x)=\lim_{x\to50^+} (8x+100) = 8\cdot50+100 = 400+100 = 500.

Passo 5

Calcular o valor da função em x=50. A definição da função dá explicitamente o valor quando x=50 (porque o primeiro ramo vale para 0\le x\le50):
C(50)=10\cdot50=500.

Passo 6

Comparar os três resultados:
\lim_{x\to50^-} C(x)=500,\qquad \lim_{x\to50^+} C(x)=500,\qquad C(50)=500.
Como os dois limites laterais existem, são iguais entre si e iguais ao valor da função em 50, conclui-se que a função é contínua em x=50.
Dica rápida para a prova: sempre calcule os dois limites laterais usando a expressão do ramo correspondente; se der o mesmo número e esse número for o valor da função no ponto, está contínua. Você já tem a resposta — e mandou bem pedindo para trabalhar por partes!

Resposta

Sim. A função é contínua em x=50.

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