onde x é a quantidade produzida. A pergunta é: a função é contínua no ponto de transição x=50 ?
Passo 1 — resumo das informações dadas:
Para 0 \leq x \leq 50 vale C(x)=10x.
Para x>50 vale C(x)=8x+100.
Deve-se verificar continuidade em x=50.]
Passo 2
Definição prática de continuidade num ponto (coisa que cai bem na prova): uma função f é contínua em x=a se e somente se os três valores abaixo existirem e forem iguais:
Isto significa que o valor da função em a coincide com o limite quando nos aproximamos de a tanto pela esquerda quanto pela direita. Para funções definidas por partes, o procedimento padrão é calcular os dois limites laterais e o valor da função em a e comparar.
Passo 3
Calcular o limite pela esquerda em x=50. Pela definição da função, para x aproximando-se de 50 pela esquerda usamos a regra C(x)=10x. Como 10x é uma função linear (portanto contínua em todo lugar), o limite é dado pela substituição direta:
Explicando devagar: quando a expressão do ramo esquerdo é uma expressão simples (polinomial, linear, etc.), o limite ao ponto é só calcular essa expressão no ponto.
Passo 4
Calcular o limite pela direita em x=50. Para x aproximando-se de 50 pela direita usamos a regra C(x)=8x+100. Novamente é uma função linear, logo a substituição direta funciona:
Como os dois limites laterais existem, são iguais entre si e iguais ao valor da função em 50, conclui-se que a função é contínua em x=50.
Dica rápida para a prova: sempre calcule os dois limites laterais usando a expressão do ramo correspondente; se der o mesmo número e esse número for o valor da função no ponto, está contínua. Você já tem a resposta — e mandou bem pedindo para trabalhar por partes!