Para que valores de x os pontos A(x, x), B(3,1) e C(7,- 3), são colineares ?

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar os valores de x tais que os pontos A(x,x), B(3,1) e C(7,-3) estão colineares.
Informações dadas:
  • A tem coordenadas (x,x).
  • B tem coordenadas (3,1).
  • C tem coordenadas (7,-3).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicadinho):
  • A inclinação (coeficiente angular) da reta que passa por dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é dada por
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},
desde que x_1\neq x_2 (senão a reta é vertical e a inclinação é indefinida).
  • Três pontos são colineares se as inclinações entre pares com um ponto em comum forem iguais. Ou seja, se m_{AB}=m_{AC}.
  • Atenção com casos especiais: se algum denominador for zero (isto é, se x fizer x_1=x_2 em algum par), precisamos tratar esse caso separadamente (linha vertical).

Passo 3

Calcular as inclinações m_{AB} e m_{AC} em função de x (assumindo provisoriamente x\neq 3 e x\neq 7, para evitar denominadores zero).
Inclinação entre A(x,x) e B(3,1):
m_{AB}=\frac{1-x}{3-x}.
Inclinação entre A(x,x) e C(7,-3):
m_{AC}=\frac{-3-x}{7-x}.

Passo 4

Igualamos as inclinações (caso padrão, com x\neq 3 e x\neq 7):
\frac{1-x}{3-x}=\frac{-3-x}{7-x}.
Fazemos a multiplicação em cruz:
(1-x)(7-x)=(-3-x)(3-x).
Expandindo os dois lados:
x^2-8x+7 = x^2-9.
Subtrai-se x^2 dos dois lados:
-8x+7=-9.
Isolando x:
-8x=-16 \quad\Rightarrow\quad x=2.

Passo 5

Tratar os casos especiais x=3 e x=7:
  • Se x=3: então A(3,3) e B(3,1) têm mesma abscissa, logo a reta AB é vertical x=3. O ponto C tem abscissa 7, diferente de 3, então C não está nessa reta. Logo x=3 não funciona.
  • Se x=7: então A(7,7) e C(7,-3) têm mesma abscissa, reta AC é vertical x=7. O ponto B tem abscissa 3, diferente de 7, então B não está nessa reta. Logo x=7 não funciona.
Portanto a única solução obtida válida é x=2.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): com x=2 temos A(2,2). As inclinações:
m_{AB}=\frac{1-2}{3-2}=\frac{-1}{1}=-1, \qquad m_{AC}=\frac{-3-2}{7-2}=\frac{-5}{5}=-1.
As inclinações coincidem, logo os três pontos são colineares quando x=2.

Resposta

x=2

Exercícios relacionados