Mostre que:
a) Os números naturais são construtíveis.
b) Os números inteiros são construtíveis.
c) Os números racionais são construtíveis.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Mostrar que todos os números naturais são construtíveis.
  • (b) Mostrar que todos os números inteiros são construtíveis.
  • (c) Mostrar que todos os números racionais são construtíveis.
Informações relevantes (assumidas como padrão para problemas de construções geométricas):
  • Temos disponíveis uma régua não graduada (apenas para traçar linhas) e compasso (para transferir e traçar circunferências).
  • Podemos começar com dois pontos fixos que definem a origem e a unidade: o ponto O em 0 e o ponto U em 1 (isto é, o segmento OU tem comprimento 1).
  • “Número construtível” será entendido como: um número real x é construtível se, a partir dos pontos iniciais O e U e usando apenas régua e compasso, podemos construir um ponto P sobre a reta OU tal que a distância OP vale |x| (e orientando a reta podemos distinguir sinais).

Passo 2

Definição operacional de construtibilidade e ferramentas básicas.
  • Definição prática: podemos copiar comprimentos com o compasso, traçar retas entre pontos, traçar circunferências com centro em um ponto e raio dado por outro ponto, e construir interseções dessas linhas e circunferências.
  • Propriedade-chave (que vou usar): as operações geométricas permitidas permitem construir, a partir de segmentos já construídos, novos segmentos correspondentes às operações aritméticas elementares:
    1. soma e subtração de comprimentos;
    2. produto e quociente de comprimentos (usando triângulos semelhantes);
    3. raiz quadrada de um comprimento positivo (usando semicírculo e teorema de Tales / semelhança).
  • Vou explicar e mostrar cada uma dessas construções de maneira elementar e ilustrar por que funcionam (além de dar a receita prática de construir no papel).

Passo 3

Construção da soma e da subtração de segmentos (como operar com comprimentos).
  • Situação inicial: suponha que já temos construídos dois pontos A e B sobre a reta horizontal com OA = a e OB = b (ou seja, segmentos de comprimentos a e b).
  • Construção da soma a+b: coloque o compasso com abertura igual ao comprimento b (distância entre dois pontos que representam b) e, com centro em A, marque uma interseção na mesma reta à direita; o ponto C obtido satisfaz OC = OA + AB = a + b. Em palavras: podemos “transladar” um segmento com o compasso; assim concatenamos a e b.
  • Construção da subtração a-b (quando a\ge b): com compasso com abertura b e centro em A, marque o ponto D à esquerda tal que AD=b; então OD = OA - AD = a-b.
  • Por que isso é permitido? Porque o compasso permite copiar um comprimento em qualquer posição e a reta permite posicionar os segmentos colineares. Assim soma e diferença de comprimentos são construtíveis.

Passo 4

Construção do produto e do quociente utilizando triângulos semelhantes (receita prática).
  • Objetivo: com os segmentos de comprimentos 1 (unidade), a e b, construir ab e \dfrac{a}{b} (quando b\neq 0).
  • Construção do produto ab:
    1. Na reta horizontal com origem O, marque U com OU=1 e à direita de U marque A com OA=a (ou seja, UA=a-1 se você preferir, mas a ideia é ter dois pontos representando 1 e a).
    2. Em um ponto P fora dessa reta (qualquer posição), trace um raio PR. Sobre esse raio, a partir de P, marque um ponto Q tal que PQ=b.
    3. Una U a Q com uma reta.
    4. Pelo ponto A trace uma reta paralela à reta UQ (paralela obtida por construção com régua e compasso); essa reta corta o raio PR num ponto S.
    5. Então PS=ab.
  • Explicação algébrica/geométrica (por que funciona): pelos triângulos formados, a construção cria triângulos semelhantes com razão \dfrac{PS}{PQ}=\dfrac{OA}{OU}. Como OU=1, obtemos PS = PQ\cdot OA = b\cdot a = ab.
  • Construção do quociente \dfrac{a}{b} (quando b\neq 0): a mesma ideia invertida.
    1. Trace um segmento OU de comprimento 1 e aponte um segmento de comprimento b em um raio a partir de um ponto P.
    2. Coloque no outro lado os comprimentos a e a unidade 1 de modo a formar a razão. Pelos triângulos semelhantes obtemos um segmento sobre a reta original cujo comprimento é \dfrac{a}{b}.
  • Observação prática: esta construção é a clássica “produto por semelhança” e é usada tantas vezes em geometria elementar. É totalmente executável com régua e compasso.

Passo 5

Construção da raiz quadrada de um comprimento positivo (método do semicírculo).
  • Objetivo: a partir de um segmento de comprimento a>0 e da unidade 1, construir um segmento de comprimento \sqrt{a}.
  • Receita geométrica (construção padrão):
    1. Sobre uma reta horizontal, marque dois pontos X e Y de forma que XY= a+1. Concretamente, coloque X em 0 e em seguida marque um ponto T à direita tal que XT=1 e depois marque Y tal que XY=a+1.
    2. Desenhe a circunferência com diâmetro XY (centro no ponto médio de XY).
    3. No ponto T (que está a distância 1 de X), erga a perpendicular à reta XY e marque sua interseção Z com a circunferência de diâmetro XY.
    4. Então a altura TZ tem comprimento \sqrt{a}.
  • Por que isso dá \sqrt{a}? Prova curta por semelhança / teorema de Thales:
    1. No triângulo retângulo XZY inscrito na semicircunferência, use semelhanças: \dfrac{TZ^2}{XT\cdot TY} = 1 (mais diretamente: pelos triângulos semelhantes vem TZ^2 = XT\cdot TY).
    2. Como XT = 1 e TY = a (pois XY=a+1 e XT=1 implica TY=a), obtemos TZ^2 = 1\cdot a = a.
    3. Logo TZ=\sqrt{a}.
  • Conclusão: podemos construir raízes quadradas de comprimentos positivos.

Passo 6

Mostrar que todos os números naturais são construtíveis.
  • Ideia: partir da unidade 1, usar soma repetida (Passo 3) para obter 2,3,4,\dots.
  • Construção prática: para obter 2 faça 1+1 copiando o segmento unidade; para obter 3 some 2+1, e assim por diante. Cada soma é uma construção finita com compasso (copiar comprimento) e reta (alinhar).
  • Argumento conciso: como soma de segmentos é construtível e 1 é dado, por indução finita podemos construir qualquer n\in\mathbb{N}: supondo n construído, constrói-se n+1 copiando novamente o segmento de comprimento 1 a partir do ponto que representa n.
  • Resultado: todos os \,n\in \mathbb{N}\, são construtíveis.

Passo 7

Mostrar que todos os inteiros são construtíveis (incluir negativos).
  • Temos os naturais não-nulos construíveis à direita da origem O. Precisamos mostrar que os negativos também são construíveis.
  • Construção de -1: como conhecemos O (origem) e U (unidade à direita), podemos traçar a circunferência de centro O e raio OU=1. Essa circunferência corta a reta OU no ponto à esquerda que chamamos de U'; esse ponto satisfaz OU' = 1 e, em coordenadas orientadas, representa -1.
  • Construção de -n: agora, a partir de -1, usando soma repetida (mas para a esquerda) conseguimos -2,-3,\dots exatamente como fizemos para os positivos — apenas transladando o segmento unidade para a esquerda.
  • Portanto, todo z\in\mathbb{Z} é representável por um ponto construível na reta: positivos à direita, negativos à esquerda, e 0 é O.
  • Conclusão: todos os inteiros são construtíveis.

Passo 8

Mostrar que todos os números racionais são construtíveis.
  • Um racional r tem forma r=\dfrac{p}{q} com p,q\in\mathbb{Z} e q\neq 0. Já mostramos que p e q são segmentos construídos (Passos 6 e 7).
  • Usando a construção do quociente (Passo 4) — a famosa construção por triângulos semelhantes — podemos construir \dfrac{|p|}{|q|} como comprimento positivo; o sinal é obtido fixando o lado direito (positivo) ou esquerdo (negativo) como desejado.
  • Receita prática (resumida): com OU=1 e com os pontos que representam p e q, coloque sobre um raio um segmento de comprimento q partindo de um vértice e, com triângulos semelhantes (ligando a unidade 1 na outra reta), obtenha o segmento cuja razão em relação a 1 é p/q.
  • Como todas essas operações são permitidas com régua e compasso (construir paralelas, traçar segmentos, copiar raios, etc.), concluímos que qualquer racional é construtível.
  • Observação pedagógica: outra maneira de ver isso é lembrar que o conjunto de números construtíveis é um corpo (campo) fechado sob soma, produto e inverso (quando existe), portanto, a partir de 1 obtemos todos os números que se geram por operações de soma e multiplicação e inverso — em particular todos os racionais.

Passo 9

Recapitulação final e reforço didático (ânimo!).
  • Resumindo as pernas da prova:
    1. Soma e subtração de segmentos são construtíveis (copiar/colar comprimentos).
    2. Produto e quociente são construtíveis via triângulos semelhantes.
    3. Raiz quadrada é construtível via semicircunferência (quando for preciso).
    4. Assim, a partir de 1 conseguimos todos os naturais por soma repetida, todos os inteiros incluindo negativos por reflexão e soma repetida à esquerda, e todos os racionais por divisão de inteiros (produto e inverso).
  • Não se assuste: na prova, na prática, você só precisa lembrar as receitas geométricas (copiar segmentos, semelhança para multiplicar/dividir, semicircunferência para raiz). Se decorar essas três ferramentas você já resolve uma boa parte dos problemas sobre números construtíveis.

Resposta

(a) Todos os n\in\mathbb{N} são construtíveis.
(b) Todos os z\in\mathbb{Z} são construtíveis.
(c) Todos os q\in\mathbb{Q} são construtíveis.

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