Mostre que:
a) Os números naturais são construtíveis.
b) Os números inteiros são construtíveis.
c) Os números racionais são construtíveis.
a) Os números naturais são construtíveis.
b) Os números inteiros são construtíveis.
c) Os números racionais são construtíveis.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- (a) Mostrar que todos os números naturais são construtíveis.
- (b) Mostrar que todos os números inteiros são construtíveis.
- (c) Mostrar que todos os números racionais são construtíveis.
Informações relevantes (assumidas como padrão para problemas de construções geométricas):
- Temos disponíveis uma régua não graduada (apenas para traçar linhas) e compasso (para transferir e traçar circunferências).
- Podemos começar com dois pontos fixos que definem a origem e a unidade: o ponto
em e o ponto em (isto é, o segmento tem comprimento ). - “Número construtível” será entendido como: um número real
é construtível se, a partir dos pontos iniciais e e usando apenas régua e compasso, podemos construir um ponto sobre a reta tal que a distância vale (e orientando a reta podemos distinguir sinais).
Passo 2
Definição operacional de construtibilidade e ferramentas básicas.
- Definição prática: podemos copiar comprimentos com o compasso, traçar retas entre pontos, traçar circunferências com centro em um ponto e raio dado por outro ponto, e construir interseções dessas linhas e circunferências.
- Propriedade-chave (que vou usar): as operações geométricas permitidas permitem construir, a partir de segmentos já construídos, novos segmentos correspondentes às operações aritméticas elementares:
- soma e subtração de comprimentos;
- produto e quociente de comprimentos (usando triângulos semelhantes);
- raiz quadrada de um comprimento positivo (usando semicírculo e teorema de Tales / semelhança).
- Vou explicar e mostrar cada uma dessas construções de maneira elementar e ilustrar por que funcionam (além de dar a receita prática de construir no papel).
Passo 3
Construção da soma e da subtração de segmentos (como operar com comprimentos).
- Situação inicial: suponha que já temos construídos dois pontos
e sobre a reta horizontal com e (ou seja, segmentos de comprimentos e ). - Construção da soma
: coloque o compasso com abertura igual ao comprimento (distância entre dois pontos que representam ) e, com centro em , marque uma interseção na mesma reta à direita; o ponto obtido satisfaz . Em palavras: podemos “transladar” um segmento com o compasso; assim concatenamos e . - Construção da subtração
(quando ): com compasso com abertura e centro em , marque o ponto à esquerda tal que ; então . - Por que isso é permitido? Porque o compasso permite copiar um comprimento em qualquer posição e a reta permite posicionar os segmentos colineares. Assim soma e diferença de comprimentos são construtíveis.
Passo 4
Construção do produto e do quociente utilizando triângulos semelhantes (receita prática).
- Objetivo: com os segmentos de comprimentos
(unidade), e , construir e (quando ). - Construção do produto
: - Na reta horizontal com origem
, marque com e à direita de marque com (ou seja, se você preferir, mas a ideia é ter dois pontos representando e ). - Em um ponto
fora dessa reta (qualquer posição), trace um raio . Sobre esse raio, a partir de , marque um ponto tal que . - Una
a com uma reta. - Pelo ponto
trace uma reta paralela à reta (paralela obtida por construção com régua e compasso); essa reta corta o raio num ponto . - Então
.
- Na reta horizontal com origem
- Explicação algébrica/geométrica (por que funciona): pelos triângulos formados, a construção cria triângulos semelhantes com razão
. Como , obtemos . - Construção do quociente
(quando ): a mesma ideia invertida. - Trace um segmento
de comprimento e aponte um segmento de comprimento em um raio a partir de um ponto . - Coloque no outro lado os comprimentos
e a unidade de modo a formar a razão. Pelos triângulos semelhantes obtemos um segmento sobre a reta original cujo comprimento é .
- Trace um segmento
- Observação prática: esta construção é a clássica “produto por semelhança” e é usada tantas vezes em geometria elementar. É totalmente executável com régua e compasso.
Passo 5
Construção da raiz quadrada de um comprimento positivo (método do semicírculo).
- Objetivo: a partir de um segmento de comprimento
e da unidade , construir um segmento de comprimento . - Receita geométrica (construção padrão):
- Sobre uma reta horizontal, marque dois pontos
e de forma que . Concretamente, coloque em e em seguida marque um ponto à direita tal que e depois marque tal que . - Desenhe a circunferência com diâmetro
(centro no ponto médio de ). - No ponto
(que está a distância de ), erga a perpendicular à reta e marque sua interseção com a circunferência de diâmetro . - Então a altura
tem comprimento .
- Sobre uma reta horizontal, marque dois pontos
- Por que isso dá
? Prova curta por semelhança / teorema de Thales: - No triângulo retângulo
inscrito na semicircunferência, use semelhanças: (mais diretamente: pelos triângulos semelhantes vem ). - Como
e (pois e implica ), obtemos . - Logo
.
- No triângulo retângulo
- Conclusão: podemos construir raízes quadradas de comprimentos positivos.
Passo 6
Mostrar que todos os números naturais são construtíveis.
- Ideia: partir da unidade
, usar soma repetida (Passo 3) para obter . - Construção prática: para obter
faça copiando o segmento unidade; para obter some , e assim por diante. Cada soma é uma construção finita com compasso (copiar comprimento) e reta (alinhar). - Argumento conciso: como soma de segmentos é construtível e
é dado, por indução finita podemos construir qualquer : supondo construído, constrói-se copiando novamente o segmento de comprimento a partir do ponto que representa . - Resultado: todos os
são construtíveis.
Passo 7
Mostrar que todos os inteiros são construtíveis (incluir negativos).
- Temos os naturais não-nulos construíveis à direita da origem
. Precisamos mostrar que os negativos também são construíveis. - Construção de
: como conhecemos (origem) e (unidade à direita), podemos traçar a circunferência de centro e raio . Essa circunferência corta a reta no ponto à esquerda que chamamos de ; esse ponto satisfaz e, em coordenadas orientadas, representa . - Construção de
: agora, a partir de , usando soma repetida (mas para a esquerda) conseguimos exatamente como fizemos para os positivos — apenas transladando o segmento unidade para a esquerda. - Portanto, todo
é representável por um ponto construível na reta: positivos à direita, negativos à esquerda, e é . - Conclusão: todos os inteiros são construtíveis.
Passo 8
Mostrar que todos os números racionais são construtíveis.
- Um racional
tem forma com e . Já mostramos que e são segmentos construídos (Passos 6 e 7). - Usando a construção do quociente (Passo 4) — a famosa construção por triângulos semelhantes — podemos construir
como comprimento positivo; o sinal é obtido fixando o lado direito (positivo) ou esquerdo (negativo) como desejado. - Receita prática (resumida): com
e com os pontos que representam e , coloque sobre um raio um segmento de comprimento partindo de um vértice e, com triângulos semelhantes (ligando a unidade na outra reta), obtenha o segmento cuja razão em relação a é . - Como todas essas operações são permitidas com régua e compasso (construir paralelas, traçar segmentos, copiar raios, etc.), concluímos que qualquer racional é construtível.
- Observação pedagógica: outra maneira de ver isso é lembrar que o conjunto de números construtíveis é um corpo (campo) fechado sob soma, produto e inverso (quando existe), portanto, a partir de
obtemos todos os números que se geram por operações de soma e multiplicação e inverso — em particular todos os racionais.
Passo 9
Recapitulação final e reforço didático (ânimo!).
- Resumindo as pernas da prova:
- Soma e subtração de segmentos são construtíveis (copiar/colar comprimentos).
- Produto e quociente são construtíveis via triângulos semelhantes.
- Raiz quadrada é construtível via semicircunferência (quando for preciso).
- Assim, a partir de
conseguimos todos os naturais por soma repetida, todos os inteiros incluindo negativos por reflexão e soma repetida à esquerda, e todos os racionais por divisão de inteiros (produto e inverso).
- Não se assuste: na prova, na prática, você só precisa lembrar as receitas geométricas (copiar segmentos, semelhança para multiplicar/dividir, semicircunferência para raiz). Se decorar essas três ferramentas você já resolve uma boa parte dos problemas sobre números construtíveis.
Resposta
(a) Todos os
são construtíveis.
(b) Todos os são construtíveis.
(c) Todos os são construtíveis.
(b) Todos os
(c) Todos os