Mostre que um hexágono regular é construtível.
Passo 1
O que o problema pede: mostrar que um hexágono regular é construível com régua e compasso.
Informações dadas/pressupostas (sem perguntar nada): podemos usar construções clássicas com régua e compasso. Partirei do caso padrão: temos uma circunferência qualquer com centro e raio
e um ponto
sobre essa circunferência (se quiser, basta desenhar uma circunferência qualquer; isso é permitido numa construção). A tarefa é construir seis pontos na circunferência que formem um hexágono regular (seis lados iguais e seis ângulos centrais iguais).
Informações dadas/pressupostas (sem perguntar nada): podemos usar construções clássicas com régua e compasso. Partirei do caso padrão: temos uma circunferência qualquer com centro
Passo 2
Ferramentas básicas e ideia-chave (explicada com carinho): com régua e compasso podemos copiar comprimentos e traçar interseções de circunferências. A ideia central que vamos usar é simples e poderosa: se num triângulo os três lados são iguais então ele é equilátero e cada ângulo interno vale
. Num círculo, isso corresponde a um arco de
no centro. Se conseguimos marcar na circunferência dois pontos
e
tais que
, então o triângulo
será equilátero e o ângulo central
valerá
. Repetindo esse passo ao redor da circunferência obtemos seis arcos de
, ou seja, um hexágono regular.
Passo 3
Construção prática — primeiro ponto: comece com a circunferência de centro
e raio
e um ponto
sobre ela. Com o compasso aberto na medida
(que é
), desenhe uma circunferência centrada em
. Essa circunferência cortará a circunferência original em dois pontos; escolha um deles e chame-o de
. Por construção, temos
.
Passo 4
Por que
é equilátero: no triângulo
temos
(são raios da circunferência original) e
(pela construção do passo anterior). Assim
, isto é, os três lados são iguais, logo o triângulo é equilátero. Em qualquer triângulo equilátero cada ângulo interno vale
; assim o ângulo central correspondente é
.
Passo 5
Passo seguinte — marcar todos os vértices do hexágono: mantenha o compasso com a abertura
. A partir de
, desenhe a circunferência centrada em
com raio
; ela intersecta a circunferência original em um novo ponto
tal que
. Repetindo esse procedimento sucessivamente (centro em
, depois no próximo ponto, etc.), você marca os pontos
na circunferência, cada par consecutivo separado por um segmento de comprimento
.
Passo 6
Por que o procedimento fecha exatamente em seis passos: cada passo cria um novo ponto que dá origem a um ângulo central de
. Se começamos em
e avançamos seis vezes por incrementos de
, a soma dos ângulos é
, que é a volta completa da circunferência; portanto, após seis passos voltamos ao ponto inicial, fechando a figura com exatamente seis vértices. Não há necessidade de mais passos: o compasso marcado no raio “caberá” exatamente 6 vezes ao redor do círculo.
Passo 7
Verificação final de regularidade: por construção cada lado consecutivo (por exemplo,
) tem comprimento
. Além disso todos os ângulos centrais
valem
. Dois vértices são adjacentes se e somente se o segmento que os une é um dos lados do polígono; como todos os lados têm igual comprimento e todos os ângulos centrais são iguais, o polígono é regular. Portanto obtivemos um hexágono regular.
Passo 8
Observação sobre a simplicidade da construção: resumindo a receita prática que você pode fazer na prova com régua e compasso — desenhe uma circunferência, escolha um ponto
, com compasso na abertura
marque sucessivas interseções na circunferência para obter
. Ligue-os em ordem:
. Pronto: hexágono regular construído em tempo curto, sem contas ou cálculo complicado.
Passo 9
Pequena nota teórica (opcional, para seu entendimento): um motivo algébrico que confirma a construibilidade é que o ângulo central que precisamos é
, e as coordenadas dos vértices envolvem números como
e
, ambos obtíveis com construções clássicas (pois
é construtível). Também isso se encaixa no critério de Gauss–Wantzel:
com
sendo um primo de Fermat (
), portanto o hexágono regular é construtível — mas na prova prática você nunca precisa desse teorema: a construção do compasso que usamos é suficiente e imediata.
Resposta
Sim. Um hexágono regular é construível; por exemplo, inscrevendo círculos de raio
centrados em pontos sucessivos da circunferência (iniciando em
com raio
) obtém-se seis pontos cujos lados valem
, formando um hexágono regular.