Mostre que um hexágono regular é construtível.

Passo 1

O que o problema pede: mostrar que um hexágono regular é construível com régua e compasso.
Informações dadas/pressupostas (sem perguntar nada): podemos usar construções clássicas com régua e compasso. Partirei do caso padrão: temos uma circunferência qualquer com centro O e raio R e um ponto A sobre essa circunferência (se quiser, basta desenhar uma circunferência qualquer; isso é permitido numa construção). A tarefa é construir seis pontos na circunferência que formem um hexágono regular (seis lados iguais e seis ângulos centrais iguais).

Passo 2

Ferramentas básicas e ideia-chave (explicada com carinho): com régua e compasso podemos copiar comprimentos e traçar interseções de circunferências. A ideia central que vamos usar é simples e poderosa: se num triângulo os três lados são iguais então ele é equilátero e cada ângulo interno vale 60^\circ. Num círculo, isso corresponde a um arco de 60^\circ no centro. Se conseguimos marcar na circunferência dois pontos A e B tais que AB=AO=R, então o triângulo AOB será equilátero e o ângulo central \angle AOB valerá 60^\circ. Repetindo esse passo ao redor da circunferência obtemos seis arcos de 60^\circ, ou seja, um hexágono regular.

Passo 3

Construção prática — primeiro ponto: comece com a circunferência de centro O e raio R e um ponto A sobre ela. Com o compasso aberto na medida AO (que é R), desenhe uma circunferência centrada em A. Essa circunferência cortará a circunferência original em dois pontos; escolha um deles e chame-o de B. Por construção, temos AB = AO = R.

Passo 4

Por que AOB é equilátero: no triângulo AOB temos OA = OB (são raios da circunferência original) e AB = AO (pela construção do passo anterior). Assim OA = OB = AB, isto é, os três lados são iguais, logo o triângulo é equilátero. Em qualquer triângulo equilátero cada ângulo interno vale 60^\circ; assim o ângulo central correspondente é \angle AOB = 60^\circ.

Passo 5

Passo seguinte — marcar todos os vértices do hexágono: mantenha o compasso com a abertura R. A partir de B, desenhe a circunferência centrada em B com raio R; ela intersecta a circunferência original em um novo ponto C tal que BC = R. Repetindo esse procedimento sucessivamente (centro em C, depois no próximo ponto, etc.), você marca os pontos A,B,C,D,E,F na circunferência, cada par consecutivo separado por um segmento de comprimento R.

Passo 6

Por que o procedimento fecha exatamente em seis passos: cada passo cria um novo ponto que dá origem a um ângulo central de 60^\circ. Se começamos em A e avançamos seis vezes por incrementos de 60^\circ, a soma dos ângulos é 6\cdot 60^\circ = 360^\circ, que é a volta completa da circunferência; portanto, após seis passos voltamos ao ponto inicial, fechando a figura com exatamente seis vértices. Não há necessidade de mais passos: o compasso marcado no raio “caberá” exatamente 6 vezes ao redor do círculo.

Passo 7

Verificação final de regularidade: por construção cada lado consecutivo (por exemplo, AB, BC, CD, DE, EF, FA) tem comprimento R. Além disso todos os ângulos centrais \angle AOB, \angle BOC, \dots valem 60^\circ. Dois vértices são adjacentes se e somente se o segmento que os une é um dos lados do polígono; como todos os lados têm igual comprimento e todos os ângulos centrais são iguais, o polígono é regular. Portanto obtivemos um hexágono regular.

Passo 8

Observação sobre a simplicidade da construção: resumindo a receita prática que você pode fazer na prova com régua e compasso — desenhe uma circunferência, escolha um ponto A, com compasso na abertura OA marque sucessivas interseções na circunferência para obter B,C,D,E,F. Ligue-os em ordem: A\!-\!B\!-\!C\!-\!D\!-\!E\!-\!F\!-\!A. Pronto: hexágono regular construído em tempo curto, sem contas ou cálculo complicado.

Passo 9

Pequena nota teórica (opcional, para seu entendimento): um motivo algébrico que confirma a construibilidade é que o ângulo central que precisamos é \tfrac{360^\circ}{6}=60^\circ, e as coordenadas dos vértices envolvem números como \cos(60^\circ)=\tfrac{1}{2} e \sin(60^\circ)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, ambos obtíveis com construções clássicas (pois \sqrt{3} é construtível). Também isso se encaixa no critério de Gauss–Wantzel: 6 = 2\cdot 3 com 3 sendo um primo de Fermat ( 3=2^{2^0}+1), portanto o hexágono regular é construtível — mas na prova prática você nunca precisa desse teorema: a construção do compasso que usamos é suficiente e imediata.

Resposta

Sim. Um hexágono regular é construível; por exemplo, inscrevendo círculos de raio R centrados em pontos sucessivos da circunferência (iniciando em A com raio OA=R) obtém-se seis pontos cujos lados valem R, formando um hexágono regular.

Exercícios relacionados