Dados os pontos A=(0,2) e B=\left(-\frac{4}{3}, 0\right) determine:
a) As equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A e B.
b) A equação afim (reduzida) da reta que passa pelos pontos A e B.

  1. { }^{5} Mediatriz é o lugar geométrico dos pontos que equidistam de dois pontos A e B distintos.
    { }^{6} r e s são paralelas quando seus vetores normais são múltiplos um do outro.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a reta que passa pelos pontos A=(0,2) e B=\bigl(-\tfrac{4}{3},0\bigr). Vamos usar conceitos de geometria analítica: primeiro achar o vetor diretor \overrightarrow{AB} para obter as equações paramétricas e depois calcular o coeficiente angular (inclinação) para escrever a forma reduzida y=mx+b.

Passo 2

Calculamos o vetor diretor
\overrightarrow{AB}=B - A = \Bigl(-\tfrac{4}{3}-0,\;0-2\Bigr)=\Bigl(-\tfrac{4}{3},\,-2\Bigr).

Passo 3

Usando o ponto A como ponto base e t\in\mathbb{R} como parâmetro, as equações paramétricas ficam
as equações paramétricas ficam
As equações paramétricas ficam
As equações paramétricas da reta são
x = 0 + t\Bigl(-\tfrac{4}{3}\Bigr)\quad\text{e}\quad y = 2 + t\bigl(-2\bigr),
ou, simplificando,
x = -\tfrac{4}{3}t, \quad y = 2 - 2t, \quad t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Para a forma reduzida, calculamos o coeficiente angular
m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{0 - 2}{-\tfrac{4}{3} - 0} = \frac{-2}{-\tfrac{4}{3}} = -2 \cdot \Bigl(-\tfrac{3}{4}\Bigr) = \tfrac{3}{2}.

Passo 5

Escrevemos y = mx + b e encontramos b usando A=(0,2):
2 = \tfrac{3}{2}\cdot 0 + b \quad\Longrightarrow\quad b = 2.
Logo, a forma reduzida é
y = \tfrac{3}{2}x + 2.

Resposta

(a) As equações paramétricas são \displaystyle x = -\tfrac{4}{3}t,\quad y = 2 - 2t,\quad t\in\mathbb{R}.
(b) A forma reduzida da reta é \displaystyle y = \tfrac{3}{2}x + 2.

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