Determine as equações paramétricas da reta r:-2 x+3 y=5.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as equações paramétricas da reta definida por -2x+3y=5.
Este é um problema de representação paramétrica de reta no plano: precisamos achar um ponto que pertença à reta e um vetor diretor, de modo que qualquer ponto (x,y) da reta seja dado por
(x,y) = P_0 + t\,\mathbf{v},
onde P_0 é um ponto da reta, \mathbf{v} é um vetor diretor e t\in\mathbb{R} é o parâmetro.

Passo 2

Primeiro, encontramos um ponto P_0 que satisfaça -2x+3y=5.
Bastam valores simples: tomamos x=0, então
-2\cdot 0 + 3y = 5 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{5}{3}.
Logo, um ponto da reta é
P_0 = \bigl(0,\tfrac{5}{3}\bigr).

Passo 3

O vetor normal à reta é \mathbf{n}=(-2,3), pois aparece nos coeficientes de x e y.
Um vetor diretor \mathbf{v}=(v_x,v_y) precisa satisfazer \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0, ou seja
-2\,v_x + 3\,v_y = 0.
Uma solução conveniente é v_x=3 e v_y=2, pois -2\cdot 3 + 3\cdot 2 = -6 + 6 = 0.
Assim, podemos escolher
\mathbf{v} = (3,2).

Passo 4

Agora montamos as equações paramétricas. Com P_0=(0,\tfrac{5}{3}) e \mathbf{v}=(3,2), para t\in\mathbb{R} temos x(t)=0+3t e y(t)=\tfrac{5}{3}+2t.
Em forma mais direta: x(t)=3t, y(t)=\frac{5}{3}+2t.

Resposta

As equações paramétricas da reta são x(t)=3t y(t)=\tfrac{5}{3}+2t,
com t\in\mathbb{R}.

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