Dados os pontos A(0,1,-1) e B(1,2,-1) e os vetores u=(-2,-1,1), v=(3,0,1) e w= (-2,2,2), verificar se existem os números a1, a2 e a3 tais que w=a1 A B+a2 u+a3 v.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe alguma combinação linear entre o vetor w e os vetores AB, u e v, ou seja, se há escalares a1,a2,a3 tais que
w = a1,AB + a2,u + a3,v
O conteúdo aqui é combinação linear de vetores em R^3. Para resolver, vamos (1) calcular AB, (2) montar o sistema obtido ao igualar componentes e (3) resolvê-lo.

Passo 2

Calculamos o vetor AB subtraindo as coordenadas de A das de B:
AB = B - A = (1,2,-1) - (0,1,-1) = (1,1,0)

Passo 3

Queremos
a1(1,1,0) + a2(-2,-1,1) + a3(3,0,1) = (-2,2,2)
Igualando componente a componente, obtemos o sistema
a1 - 2a2 + 3a3 = -2, a1 - a2 + 0cdot a3 = 2, 0cdot a1 + a2 + a3 = 2

Passo 4

Da segunda equação segue
a1 = 2 + a2,
e da terceira
a3 = 2 - a2
Substituindo essas expressões na primeira:
(2 + a2) - 2a2 + 3(2 - a2) = -2
Isso dá
2 + a2 - 2a2 + 6 - 3a2 = -2 ;Longrightarrow; 8 - 4a2 = -2

Passo 5

Resolvendo 8 - 4a2 = -2 obtemos
-4a2 = -10 ;Longrightarrow; a2 = 52
Logo
a1 = 2 + 52 = 92, a3 = 2 - 52 = -12

Resposta

a1 = 92, a2 = 52, a3 = -12

Exercícios relacionados