Resolva os sistemas de equações lineares pelo método do escalonamento: realizando operações elementares sobre as linhas da matriz completa do sistema até que a matriz dos coeficientes fique linha reduzida a forma escada, produzindo assim um sistema equivalente e mais fácil de resolver.
lx+y+z+w=0 x+y+z-w=4 x+y-z+w=-4 x-y+z+w=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema por escalonamento, ou seja, usar operações elementares em linhas de sua matriz completa até obter uma forma em “escada” na matriz dos coeficientes. O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais precisamente o método de eliminação de Gauss para sistemas lineares.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada l[Amid br] do sistema
rcl x+y+z+w&=&0 x+y+z-w&=&4 x+y-z+w&=&-4 x-y+z+w&=&2
l[Amid br] = 1 & 1 & 1 & 1 &m|& 0 1 & 1 & 1 & -1&m|& 4 1 & 1 & -1& 1 &m|& -4 1 & -1& 1 & 1 &m|& 2

Passo 3

Eliminamos x das equações 2, 3 e 4 subtraindo a linha 1 de cada uma:
R2 R2-R1, R3 R3-R1, R4 R4-R1
Resulta em
1 & 1 & 1 & 1 &m|& 0 0 & 0 & 0 & -2&m|& 4 0 & 0 & -2& 0 &m|& -4 0 & -2& 0 & 0 &m|& 2

Passo 4

Para ter os pivôs em ordem natural de colunas, permutamos as linhas 2 e 4:
R2rightarrow R4
Fica
1 & 1 & 1 & 1 &m|& 0 0 & -2& 0 & 0 &m|& 2 0 & 0 & -2& 0 &m|& -4 0 & 0 & 0 & -2&m|& 4

Passo 5

Normalizamos cada linha de pivô dividindo por -2:
R2 tfrac1-2R2, R3 tfrac1-2R3, R4 tfrac1-2R4
Obtemos a forma escada reduzida
1 & 1 & 1 & 1 &m|& 0 0 & 1 & 0 & 0 &m|& -1 0 & 0 & 1 & 0 &m|& 2 0 & 0 & 0 & 1 &m|& -2

Passo 6

Agora lemos as equações correspondentes e aplicamos retro-substituição:
da quarta linha, ;w=-2.
da terceira linha, ;z=2.
da segunda linha, ;y=-1.
e da primeira linha,
x + y + z + w = 0 Longrightarrow x +(-1)+(2)+(-2)=0 Longrightarrow x=1

Resposta

x=1, y=-1, z=2, w=-2

Exercícios relacionados