dados os pontos A(1,2) e C(2,6), determinar as coordenadas de um ponto B (sobre a reta que contém A C ), tal que \overline{A B}=2 \overline{B C}.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(1,2) e C(2,6) e pede um ponto B sobre a reta AC tal que \overline{AB}=2\,\overline{BC}.
O conteúdo é divisão de um segmento em uma razão dada, que podemos tratar via coordenadas ou vetores.

Passo 2

Vamos achar o vetor \overrightarrow{AC}.
\overrightarrow{AC} = C - A = (2-1,\;6-2) = (1,4).

Passo 3

Em coordenadas paramétricas, qualquer ponto B em AC pode ser escrito como
B = A + t\,\overrightarrow{AC},
onde t\in\mathbb{R}. A distância \overline{AB} vale t\,|\overrightarrow{AC}| e \overline{BC} vale (1-t)\,|\overrightarrow{AC}|. A condição \overline{AB}=2\,\overline{BC}
t\,|\overrightarrow{AC}| = 2\,(1-t)\,|\overrightarrow{AC}| \quad\Longrightarrow\quad t = 2\,(1-t) \quad\Longrightarrow\quad 3t = 2 \quad\Longrightarrow\quad t = \tfrac{2}{3}.

Passo 4

Substituindo t=\tfrac{2}{3} em B = A + t\,\overrightarrow{AC}, temos
B = (1,2) + \frac{2}{3}\,(1,4) = \Bigl(1 + \tfrac{2}{3},\;2 + \tfrac{8}{3}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{5}{3},\;\tfrac{14}{3}\Bigr).

Resposta

As coordenadas de B são \bigl(\tfrac{5}{3},\tfrac{14}{3}\bigr).

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