dados os pontos A(1,2) e C(2,6), determinar as coordenadas de um ponto B (sobre a reta que contém A C ), tal que \overline{A B}=2 \overline{B C}.
Passo 1
O enunciado dá os pontos A(1,2) e C(2,6) e pede um ponto B sobre a reta AC tal que \overline{AB}=2\,\overline{BC}.
O conteúdo é divisão de um segmento em uma razão dada, que podemos tratar via coordenadas ou vetores.
Passo 2
Vamos achar o vetor \overrightarrow{AC}.
\overrightarrow{AC} = C - A = (2-1,\;6-2) = (1,4).
Passo 3
Em coordenadas paramétricas, qualquer ponto B em AC pode ser escrito como
B = A + t\,\overrightarrow{AC},
onde t\in\mathbb{R}. A distância \overline{AB} vale t\,|\overrightarrow{AC}| e \overline{BC} vale (1-t)\,|\overrightarrow{AC}|. A condição \overline{AB}=2\,\overline{BC} dá
t\,|\overrightarrow{AC}| = 2\,(1-t)\,|\overrightarrow{AC}| \quad\Longrightarrow\quad t = 2\,(1-t) \quad\Longrightarrow\quad 3t = 2 \quad\Longrightarrow\quad t = \tfrac{2}{3}.
Passo 4
Substituindo t=\tfrac{2}{3} em B = A + t\,\overrightarrow{AC}, temos