Sejam os pontos \mathrm{A}(1,3) e \mathrm{C}(2,5). Determine as coordenadas de um ponto B tal que B divida o segmento AC nas seguintes proporções:
\frac{\overline{A B}}{\overline{B C}}=3 \quad

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(1,3) e C(2,5) e pede um ponto B no segmento AC tal que a razão das distâncias seja
\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} = 3.
Este é um caso de divisão interna de segmento no plano, onde usamos a fórmula da razão ou “fórmula do ponto médio generalizado”.

Passo 2

Se um ponto B divide internamente o segmento AC na razão
\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} = \frac{m}{n},
então suas coordenadas vêm de
B = \biggl(\frac{n\,x_A + m\,x_C}{m+n}, \,\frac{n\,y_A + m\,y_C}{m+n}\biggr)
onde (x_A,y_A) e (x_C,y_C) são as coordenadas de A e C, respectivamente.

Passo 3

Aqui temos m=3 e n=1. Substituindo A(1,3) e C(2,5) na fórmula:
B = \Bigl(\frac{1\cdot 1 + 3\cdot 2}{1+3}, \;\frac{1\cdot 3 + 3\cdot 5}{1+3}\Bigr)

Passo 4

Calculemos cada componente:
\frac{1\cdot 1 + 3\cdot 2}{4} = \frac{1 + 6}{4} = \frac{7}{4}, \qquad \frac{1\cdot 3 + 3\cdot 5}{4} = \frac{3 + 15}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}.
Logo,
B\bigl(\tfrac{7}{4},\,\tfrac{9}{2}\bigr).

Resposta

B\bigl(\tfrac{7}{4},\,\tfrac{9}{2}\bigr)

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