Dados os pontos de
, para cada ponto
considere a função
Em que ponto
toma seu valor mínimo?
Passo 1
Temos no plano
R^2 n pontos Ai = (ai, bi) e definimos
f(x, y) = \sum_{i=1}^n [ (x − ai)^2 + (y − bi)^2 ].
O conteúdo aqui é otimização de funções de várias variáveis: vamos usar derivadas parciais para achar o ponto crítico e depois verificar que é um mínimo.
R^2 n pontos Ai = (ai, bi) e definimos
f(x, y) = \sum_{i=1}^n [ (x − ai)^2 + (y − bi)^2 ].
O conteúdo aqui é otimização de funções de várias variáveis: vamos usar derivadas parciais para achar o ponto crítico e depois verificar que é um mínimo.
Passo 2
Para encontrar o ponto crítico, calculamos as derivadas parciais de f em relação a x e a y.
Passo 3
A derivada parcial de f em relação a x é dada por
Passo 4
Analogamente, a derivada parcial de f em relação a y é
Passo 5
Para achar o ponto crítico, igualamos as derivadas parciais a zero. Da equação
obtemos
Passo 6
Da equação
obtemos
Passo 7
Para garantir que esse ponto crítico é um mínimo, checamos a matriz Hessiana de f. Como f é soma de quadráticos, a Hessiana é
que é definida positiva. Logo, o ponto crítico é um mínimo global.
Resposta
O ponto em que f atinge o valor mínimo é