Dados os pontos de R^2 Ai=(ai, bi), (i=1,2, cdots, n), para cada ponto P=(x, y) considere a função
f(x, y)=sumi=1^n[(x-ai)^2+(y-bi)^2]
Em que ponto P0=(x0, y0), f(x, y) toma seu valor mínimo?

Passo 1

Temos no plano
R^2 n pontos Ai = (ai, bi) e definimos
f(x, y) = \sum_{i=1}^n [ (x − ai)^2 + (y − bi)^2 ].
O conteúdo aqui é otimização de funções de várias variáveis: vamos usar derivadas parciais para achar o ponto crítico e depois verificar que é um mínimo.

Passo 2

Para encontrar o ponto crítico, calculamos as derivadas parciais de f em relação a x e a y.

Passo 3

A derivada parcial de f em relação a x é dada por
partial fpartial x = sumi=1^n 2(x - ai) = 2sumi=1^n (x - ai)

Passo 4

Analogamente, a derivada parcial de f em relação a y é
partial fpartial y = sumi=1^n 2(y - bi) = 2sumi=1^n (y - bi)

Passo 5

Para achar o ponto crítico, igualamos as derivadas parciais a zero. Da equação partial f/partial x = 0 obtemos
2sumi=1^n (x - ai) = 0 implies sumi=1^n x = sumi=1^n ai implies nx = sumi=1^n ai implies x = 1n sumi=1^n ai

Passo 6

Da equação partial f/partial y = 0 obtemos
2sumi=1^n (y - bi) = 0 implies ny = sumi=1^n bi implies y = 1n sumi=1^n bi

Passo 7

Para garantir que esse ponto crítico é um mínimo, checamos a matriz Hessiana de f. Como f é soma de quadráticos, a Hessiana é
H = 2n & 0 0 & 2n ,
que é definida positiva. Logo, o ponto crítico é um mínimo global.

Resposta

O ponto em que f atinge o valor mínimo é
P0 = l(x0, y0r) = l(1nsumi=1^n ai, ; 1nsumi=1^n bir)

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