Encontre a solução geral da equação diferencial
x d x(x^2+y^2)^3 / 2+y d y(x^2+y^2)^3 / 2=0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma equação diferencial:
x , dx(x^2+y^2)^3 / 2+y , dy(x^2+y^2)^3 / 2=0
O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular essas equações e utilizar algumas propriedades básicas de derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para deixar mais fácil de trabalhar. Observe que ambos os termos têm o mesmo denominador, então podemos unir as frações:
x , dx + y , dy(x^2+y^2)^3 / 2 = 0

Passo 3

Para que essa fração seja igual a zero, o numerador precisa ser igual a zero (desde que o denominador não seja infinito). Então, temos:
x , dx + y , dy = 0

Passo 4

Essa expressão, integral (x , dx + y , dy) = integral 0 , dt , é uma forma diferencial que podemos integrar. Vamos integrar ambos os lados da equação:

Passo 5

As integrais ficam:
12x^2 + 12y^2 = C
onde é a constante de integração.

Passo 6

Podemos simplificar multiplicando a equação inteira por 2 para deixar mais bonita:
x^2 + y^2 = 2C
Como x^2 + y^2 = C é apenas uma nova constante, podemos renomear para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante.

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