Dados os pontos de R^2 A1=(0,0), A2=(1,2) e A3=(2,1), para cada ponto P=(x, y) considere a função
f(x, y)=x^2+y^2+(x-1)^2+(y-2)^2+(x-2)^2+(y-1)^2
Em que ponto P0=(x0, y0), f(x, y) toma seu valor mínimo?

Passo 1

O enunciado pede o ponto (x0,y0) em que a função f(x,y), que é a soma dos quadrados das distâncias de P=(x,y) aos pontos A1=(0,0), A2=(1,2) e A3=(2,1), atinge valor mínimo. O conteúdo usado será cálculo de derivadas parciais para encontrar o mínimo de uma função de duas variáveis.

Passo 2

Para encontrar o ponto crítico, calculamos as derivadas parciais de f(x,y) e igualamos a zero. Como
f(x,y)=x^2+y^2+(x-1)^2+(y-2)^2+(x-2)^2+(y-1)^2,
temos
partial fpartial x=2x+2(x-1)+2(x-2)=6x-6,
partial fpartial y=2y+2(y-2)+2(y-1)=6y-6

Passo 3

Igualando as derivadas a zero obtemos o sistema
6x-6=0,
6y-6=0,
que leva a
x=1,
y=1

Resposta

P0=(1,1)

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