Use multiplicadores de Lagrange para demonstrar que o triângulo com área máxima, e que tem perímetro constante p, é equilátero.
[Sugestão: Utilize a fórmula de Heron para a área:
A=raizs(s-x)(s-y)(s-z)
onde s=p / 2 e x, y, z são os comprimentos dos lados.]

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um problema de otimização: queremos encontrar qual triângulo, com um perímetro fixo , tem a maior área possível. Para resolver isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, uma técnica matemática que ajuda a encontrar máximos e mínimos de funções sujeitas a restrições. Além disso, vamos utilizar a fórmula de Heron para calcular a área do triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula de Heron. A área A = raizs(s - x)(s - y)(s - z) de um triângulo com lados de comprimentos , e , e semiperímetro , é dada por:
Essa fórmula nos permite calcular a área sabendo apenas os lados do triângulo.

Passo 3

Nosso objetivo é maximizar L(x, y, z, lambda) = raizs(s - x)(s - y)(s - z) + lambda (p - x - y - z) sujeito à restrição de que . Para isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange. Definimos a função:
Aqui, é o multiplicador de Lagrange que vai nos ajudar a incorporar a restrição no processo de otimização.

Passo 4

Vamos derivar partial Lpartial x = 0, partial Lpartial y = 0, partial Lpartial z = 0 em relação a x + y + z = p , e e igualar a zero para encontrar os pontos críticos. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
E também a condição da restrição:

Passo 5

Após calcular as derivadas parciais e simplificar, percebemos que para maximizar a área, as derivadas em relação a x = y = z , e devem ser iguais. Isso implica que:
Ou seja, todos os lados do triângulo devem ser iguais.

Passo 6

Com x = y = z = p3 e , concluímos que cada lado mede:
Isso significa que o triângulo que maximiza a área, com perímetro constante , é um triângulo equilátero.

Resposta

O triângulo com área máxima e perímetro constante é equilibrado, ou seja, um triângulo equilátero com lados iguais a .

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