Use multiplicadores de Lagrange para demonstrar que o triângulo com área máxima, e que tem perímetro constante
, é equilátero.
[Sugestão: Utilize a fórmula de Heron para a área:
onde
e
são os comprimentos dos lados.]
[Sugestão: Utilize a fórmula de Heron para a área:
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um problema de otimização: queremos encontrar qual triângulo, com um perímetro fixo
, tem a maior área possível. Para resolver isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, uma técnica matemática que ajuda a encontrar máximos e mínimos de funções sujeitas a restrições. Além disso, vamos utilizar a fórmula de Heron para calcular a área do triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula de Heron. A área
de um triângulo com lados de comprimentos
,
e
, e semiperímetro
, é dada por:
Essa fórmula nos permite calcular a área sabendo apenas os lados do triângulo.
Passo 3
Nosso objetivo é maximizar
sujeito à restrição de que
. Para isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange. Definimos a função:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange que vai nos ajudar a incorporar a restrição no processo de otimização.
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
,
e
e igualar a zero para encontrar os pontos críticos. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
E também a condição da restrição:
Passo 5
Após calcular as derivadas parciais e simplificar, percebemos que para maximizar a área, as derivadas em relação a
,
e
devem ser iguais. Isso implica que:
Ou seja, todos os lados do triângulo devem ser iguais.
Passo 6
Com
e
, concluímos que cada lado mede:
Isso significa que o triângulo que maximiza a área, com perímetro constante
, é um triângulo equilátero.
Resposta
O triângulo com área máxima e perímetro constante
é equilibrado, ou seja, um triângulo equilátero com lados iguais a
.