Do tetraedro de arestas O A, O B e O C, sabe-se: O A=(x, 3,4), O B= (0,4,2), O C=(1,3,2). Calcule x para que o volume desse tetraedro seja igual a 2 u.v.

Passo 1

O enunciado nos dá um tetraedro cujos vértices são O, A, B e C, definidos pelos vetores
OA=(x,3,4), OB=(0,4,2) e OC=(1,3,2).
Queremos achar x de modo que o volume seja 2 unidades de volume. O conteúdo aplicado é o produto misto e a fórmula do volume de um tetraedro em R^3:
Vtetra ;=; 16l|det[OA,OB,OC]r|

Passo 2

Pela fórmula do volume, temos
16l|det[OA,OB,OC]r| = 2 Longrightarrow l|det[OA,OB,OC]r| = 12

Passo 3

Calculamos o determinante pela regra de Sarrus (desenvolvendo pela primeira linha):
det x & 3 & 4 0 & 4 & 2 1 & 3 & 2 = x,(4cdot2-2cdot3);-;3,(0cdot2-2cdot1);+;4,(0cdot3-4cdot1)
= x,(8-6);-;3,(0-2);+;4,(0-4) =2x +6 -16 =2x -10

Passo 4

A condição l|2x-10r|=12 gera duas equações:
2x - 10 = 12 Longrightarrow 2x = 22 Longrightarrow x = 11,
2x - 10 = -12 Longrightarrow 2x = -2 Longrightarrow x = -1

Resposta

x = 11 ou x = -1

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