Dados os pontos \mathrm{A}(-2,4), \mathrm{B}(5,-2) e \mathrm{C}(-2,1), determinar o ponto \mathrm{D}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) de modo que:
(2,0 pontos)
\overrightarrow{C D}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}

Passo 1

Dados os pontos:
  • A(-2,4)
  • B(5,-2)
  • C(-2,1)
O enunciado pede: determinar o ponto D(x,y) tal que
\overrightarrow{C D}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A B}.

Passo 2

Definição útil (explicação passo a passo): o vetor que vai de um ponto P(x_P,y_P) para um ponto Q(x_Q,y_Q) tem componentes iguais à diferença das coordenadas de Q e P. Em fórmulas:
\overrightarrow{P Q}=(x_Q-x_P,\;y_Q-y_P).
Isso significa que podemos obter as componentes de um vetor subtraindo coordenada a coordenada.

Passo 3

Calcular \overrightarrow{A B} usando a definição:
\overrightarrow{A B}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A).
Substituindo os valores:
\overrightarrow{A B}=(5-(-2),\;-2-4)=(7,\,-6).

Passo 4

Explicar escala de vetor: multiplicar um vetor por um escalar k significa multiplicar cada componente por k. Assim
\frac{1}{2}\overrightarrow{A B}=\left(\frac{1}{2}\cdot 7,\;\frac{1}{2}\cdot(-6)\right)=\left(\frac{7}{2},\,-3\right).

Passo 5

Relacionar \overrightarrow{C D} com as coordenadas de D: por definição,
\overrightarrow{C D}=(x_D-x_C,\;y_D-y_C).
Como queremos \overrightarrow{C D}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{A B}, podemos escrever
(x_D-x_C,\;y_D-y_C)=\left(\frac{7}{2},\,-3\right).
Isolando x_D e y_D fica claro que
x_D = x_C + \frac{7}{2},\qquad y_D = y_C - 3.
Outra forma mais direta é observar que
\overrightarrow{C D}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A B}\quad\Rightarrow\quad \overrightarrow{D}=\overrightarrow{C}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A B},
onde \overrightarrow{P} denota o vetor posição do ponto P.

Passo 6

Substituir C(-2,1) nas fórmulas:
x_D = -2 + \frac{7}{2} = -\frac{4}{2}+\frac{7}{2}=\frac{3}{2},
y_D = 1 - 3 = -2.
Portanto D\left(\dfrac{3}{2},-2\right).

Passo 7

Verificação (sempre bom checar na prova): calcule \overrightarrow{C D} com o D encontrado:
\overrightarrow{C D}=\left(\frac{3}{2}-(-2),\,-2-1\right)=\left(\frac{3}{2}+2,\,-3\right)=\left(\frac{7}{2},\,-3\right),
que é exatamente \dfrac{1}{2}\overrightarrow{A B} como obtido no Passo 4. Logo está correto. Força aí — já era!

Resposta

D\!\left(\dfrac{3}{2},-2\right)

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